Zeri di un polinomio a coefficienti in $ZZ$

[elgiovo]

Dimostrare che, per un polinomio $P(x)$ di grado $n$ a coefficienti interi, ovvero $P(x)=a_nx^n+ldots+a_1x+a_0$, gli zeri sono da cercare nell'intervallo $[-gamma, gamma]$, con $gamma=|a_i|+1$, e $a_i=max(a_0,ldots, a_n)$.

[carlo23]

Dimostrare che, per un polinomio $P(x)$ di grado $n$ a coefficienti interi, ovvero $P(x)=a_nx^n+ldots+a_1x+a_0$, gli zeri sono da cercare nell'intervallo $[-gamma, gamma]$, con $gamma=|a_i|+1$, e $a_i=max(a_0,ldots, a_n)$.

Falso, prendiamo il polinomio $x^2-9$ che ha $+-3$ come zeri, abbiamo $a_0=-9,a_1=0,a_2=1$ per cui $gamma=1+|max(-9,0,1)|=2$ eppure non accade $-3 in [-2,2]$.

Probabilmente hai lasciato per strada qualche modulo

[ficus2002]

Qui è stato discusso un problema simile.

[elgiovo]

Falso, prendiamo il polinomio $x^2-9$ che ha $+-3$ come zeri, abbiamo $a_0=-9,a_1=0,a_2=1$ per cui $gamma=1+|max(-9,0,1)|=2$ eppure non accade $-3 in [-2,2]$.

Probabilmente hai lasciato per strada qualche modulo

Ehm, si, ho lasciato da parte un pò di moduli... In realtà $|a_i|=max(|a_n|,|a_{n-1}|,\ldots,|a_0|)
E poi mi sono scordato di dire che il polinomio è monico, ovvero $a_n=1.
Ad ogni modo, nel frattempo ho trovato una dimostrazione che fa uso di una semplice maggiorazione:
Sia $gamma=|a_i|+1$. Allora $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0>=x^n-gamma(x^{n-1}+ldots+1)=x^n-gamma frac{x^n-1}{x-1}=frac{x^n[x-(gamma+1)]+gamma}{x-1}$. Ma questo implica $P(x)>0 forall 1<gamma+1<x$, quindi abbiamo limitato superiormente l'intervallo in cui cercare gli zeri di $P(x)$. Con un ragionamento analogo si limita inferioremente tale intervallo e ciò prova l'asserto.