Sia G un gruppo tale che |G| è dispari. Dimostrare che ogni elemento di G ha una "radice quadrata".
Cioè, dimostrare che per ogni g $in$ G esiste h $in$ G tale che h^2 = g.
hark ha scritto:Sia G un gruppo tale che |G| è dispari. Dimostrare che ogni elemento di G ha una "radice quadrata".
Cioè, dimostrare che per ogni g $in$ G esiste h $in$ G tale che h^2 = g.
ficus2002 ha scritto:hark ha scritto:Sia G un gruppo tale che |G| è dispari. Dimostrare che ogni elemento di G ha una "radice quadrata".
Cioè, dimostrare che per ogni g $in$ G esiste h $in$ G tale che h^2 = g.
Sia $g\in G$. Per il Teorema di Lagrange, il periodo $o(g)$ di $g$ divide l'ordine del gruppo $|G|$. Poichè $|G|$ è dispari, anche $o(g)$ è dispari, quindi esistono $a,b\in ZZ$ tali che $2a+o(g)b=1$, pertanto $g=g^{2a+o(g)b}=g^{2a}$.
hark ha scritto:ficus2002 ha scritto:hark ha scritto:Sia G un gruppo tale che |G| è dispari. Dimostrare che ogni elemento di G ha una "radice quadrata".
Cioè, dimostrare che per ogni g $in$ G esiste h $in$ G tale che h^2 = g.
Sia $g\in G$. Per il Teorema di Lagrange, il periodo $o(g)$ di $g$ divide l'ordine del gruppo $|G|$. Poichè $|G|$ è dispari, anche $o(g)$ è dispari, quindi esistono $a,b\in ZZ$ tali che $2a+o(g)b=1$, pertanto $g=g^{2a+o(g)b}=g^{2a}$.
non ho ben capito da quando parli di 2a+o(g)b=1 in poi???
che vuol dire???
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