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Sia G un gruppo tale che |G| è dispari. Dimostrare che ogni elemento di G ha una "radice quadrata".
Cioè, dimostrare che per ogni g $in$ G esiste h $in$ G tale che h^2 = g.

hark ha scritto:Sia G un gruppo tale che |G| è dispari. Dimostrare che ogni elemento di G ha una "radice quadrata".
Cioè, dimostrare che per ogni g $in$ G esiste h $in$ G tale che h^2 = g.

Sia $g\in G$. Per il Teorema di Lagrange, il periodo $o(g)$ di $g$ divide l'ordine del gruppo $|G|$. Poichè $|G|$ è dispari, anche $o(g)$ è dispari, quindi esistono $a,b\in ZZ$ tali che $2a+o(g)b=1$, pertanto $g=g^{2a+o(g)b}=g^{2a}$.

bella soluzione...

ficus2002 ha scritto:

hark ha scritto:Sia G un gruppo tale che |G| è dispari. Dimostrare che ogni elemento di G ha una "radice quadrata".
Cioè, dimostrare che per ogni g $in$ G esiste h $in$ G tale che h^2 = g.

Sia $g\in G$. Per il Teorema di Lagrange, il periodo $o(g)$ di $g$ divide l'ordine del gruppo $|G|$. Poichè $|G|$ è dispari, anche $o(g)$ è dispari, quindi esistono $a,b\in ZZ$ tali che $2a+o(g)b=1$, pertanto $g=g^{2a+o(g)b}=g^{2a}$.

non ho ben capito da quando parli di 2a+o(g)b=1 in poi???

che vuol dire???

hark ha scritto:

ficus2002 ha scritto:

hark ha scritto:Sia G un gruppo tale che |G| è dispari. Dimostrare che ogni elemento di G ha una "radice quadrata".
Cioè, dimostrare che per ogni g $in$ G esiste h $in$ G tale che h^2 = g.

Sia $g\in G$. Per il Teorema di Lagrange, il periodo $o(g)$ di $g$ divide l'ordine del gruppo $|G|$. Poichè $|G|$ è dispari, anche $o(g)$ è dispari, quindi esistono $a,b\in ZZ$ tali che $2a+o(g)b=1$, pertanto $g=g^{2a+o(g)b}=g^{2a}$.

non ho ben capito da quando parli di 2a+o(g)b=1 in poi???

che vuol dire???

Allora, per l'identità di Bezout, due interi $x,y$ sono coprimi se e solo se esistono due interi $a,b$ t.c. $ax+by=1$. Nel caso nostro, 2 e $o(g)$ sono coprimi (perchè $o(g)$ è dispari) quindi esistono $a,b$ interi tali che $2a+o(g)b=1$, quindi $g=g^1=g^{2a+o(g)b}=g^{2a}g^{o(g)b}=g^{2a}$ perchè $g^{o(g)b}=(g^{o(g)})^b=1^b=1$. In conclusione $g=(g^a)^2$.