da fields » 24/11/2006, 13:13
Dimostro la cosa per i gruppi finiti, perché conosco in quel caso la definizione di serie ascendente. In ogni caso dovrebbe essere facile da generalizzare.
Sia $H$ un sottogruppo pronormale e ascendente di $G$. Allora sia $H_1,...,H_n$ una serie ascendente di $G$ contenente $H$: possiamo supporre che $H_1=H$ e $H_n=G$. Dimostriamo per induzione su $n$ che $H$ è un sottogruppo normale in $H_n$.
Se $n=1$, ovvio. Dunque supponiamo $n>1$. Sia $x\in H_n$ tale che, per assurdo, $H\ne xHx^(-1)$. $H_n$ contiene come sottogruppo normale $H_(n-1)$, dunque $xH_(n-1)x^(-1)=H_(n-1)$ e dunque $xHx^(-1)\sube H_(n-1)$. Ma poiché $H$ è pronormale e $<H,xHx^(-1)>\sube H_(n-1)$, segue che $xHx^(-1)$ dovrebbe essere coniugato a $H$ in $H_(n-1)$, ovvero una contraddizione, poiché $H$ è normale per ipotesi induttiva in $H_(n-1)$.
Dunque $H$ è normale in $G$.
L'altra direzione invece è banale. Spero di non avere fatto errori, è la prima volta che ho a che fare con questi concetti.
[i]La Realtà non si capisce, alla Realtà ci si abitua[/i]