Sottogruppi normali

[*duo]

Sia G un gruppo. Dimostrare che

Z(G) = (h$in$G : hg=gh per ogni g$in$G)

è un sottogruppo normale.

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Mi sembra un esercizio un po' troppo facile per chiedere un aiuto...

[*duo]

ok allora continuerò a cercare di farlo da solo.

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Dunque vediamo se stò procedend bene:
Z(G) per definizione dovrebbe essere abeliano.
Se hg=gh => h=(gh)g^-1 dunque soddisfa la proprietà dei sottogruppi (per cui se Z < G => xy^-1 $in$ Z con x,y^-1 $in$ Z).

Ho così dimostrato che è un sgr?

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No, non va. Devi supporre $a,b\in Z(G)$ e dimostrare che $ab^(-1)\in Z(G)$. Per verificare questo devi prendere un qualunque $g\in G$ e dimostrare che $ab^(-1)g=gab^(-1)$. Poiché $b\in Z(G)$, allora $bg=gb$ e dunque $b^(-1)g=gb^(-1)$. Ora vai avanti...

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scusa la mia demenza ma continuo a nn capire... forse perchè sono ancora le prime volte che devo dimostrare qlcosa nn sò ma nn vedo nulla di scontato in ciò che dici

potresti spiegarmi...

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Per dimostrare che $Z(G)$ è un sottogruppo, devi supporre $a,b\in Z(G)$ e dimostrare che $ab^(-1)\in Z(G)$. Per verificare questo devi prendere un qualunque $g\in G$ e dimostrare che $ab^(-1)g=gab^(-1)$. Poiché $b\in Z(G)$, allora $bg=gb$ e dunque $b^(-1)g=gb^(-1)$. Inoltre $a\in Z(G)$ e dunque $ag=ga$. Quindi $ab^(-1)g=agb^(-1)=gab^(-1)$, e abbiamo dunque raggiunto il nostro scopo.

Che poi $Z(G)$ sia normale è ovvio. Infatti, sia $g\in G$ e $a\in Z(G)$. Allora $gag^(-1)=agg^(-1)=a\in Z(G)$, che è la tesi.

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Grazie a tutti ragazzi.

Grazie a fields per la pazienza .

Grazie a hark che mi ha rispiegato il problema via Messenger.

Grazie siete mitici....

[hark]

Hey a me nn hai messo la faccina... mi offendo eh....

Skerzo