Sia G un gruppo che soddisfa la condizione minimale sui sottogruppi non pronormali
Se G non ha sezioni semplici infinite allora ogni fattore principale di G è finito
Per prima cosa:
G soddisfa la condizione sui sottogruppi non pronmormali quando non esiste una successione strettamente decrescente di sottogruppi non pronormali di G OPPURE esiste uan successione decrescente di sottogruppi non pronormali L_n
tale che per ogni n maggiore e uguale di m L_n=L_m
Poi è importante questo teorema che ci servira durante la dimostarzone:
G gruppo sia , H sottogruppo normale in G se e solo se H è pronormale in G e H è acendente in G
Di solito questo teorema serve sempre perche se so che un sottogruppo è normale in G allora posso dire che è ascendente e pronormale e viceversa
se pero ad esempio H è ascendente ma non è normale allora sono sicura che non è pronormale
se K è normale in H che è sottogruppo del gruppo G allora H/K SI chiama sezione
Se G non ha sezioni semplici infinite significa che non appena H/K è semplice allora questo implica H/K finito
dimostrazione del teorema:
Sia H/K un fattore principale (essendo tale è un sottogruppo normale minimale di G/K) e sia L/K un sottogruppo normale di H/K allora Lè subnormale non normale di G (Significa che esiste una serie finita contenente L e G ove pero L non è normale in G) allora L non è pronormale in G.Segue dall ipotesi che H/K soddisfa la condizione minimale sui sottogruppi normali
Mi fermo qui perche la fine della dimostrazione l ho capita