Formula di Cardano

[girl222]

Per il teorema fondamentale dell'algebra, nell'insieme C dei numeri complessi, ogni equazione polinomiale E(x)=0 (con il polinomio E(x) di grado n), ammette n soluzioni.

Ora se io uso la formula di Cardano, come faccio ad essere sicura di quante sono quelle reali e di quante sono quelle complesse?

P.e. il polinomio $x^3-2x^2+x+3=0$ non si può scomporre con Ruffini, ma ha una radice reale che trovo con la formula di Cardano, come faccio a sapere che è l'unica e che le altre sono complesse?Lo vedo dal disegno del grafico, ma se volessi saperlo a priori da un punto di vista strettamente algebrico?

[giacor86]

nella formula compaiono dei termini di radice quadrata. reale o complesso di pende da ciò che hai sotto radice. cmq per informazioni ben migliori guarda qui.

http://www.vialattea.net/esperti/php/ri ... p?num=2008

è una domanda che io posi 4 o 5 anni fa a questo sito e la risposta fu molto soddisfacente

[karl]

Per una equazione cubica e' abbastanza semplice stabilire a priori
(cioe' senza risolvere effettivamente la stessa) la natura delle radici.
Il procedimemnto e' il seguente:
a) si riduce l'equazione alla forma canonica $y^3+py+q=0$ tramite la
sostituzione $x=y-(a_1)/(3a_o)$
b) si calcola il discriminante $Delta=(p^3)/(27)+(q^2)/4
c)allora:
per $Delta>0$ si ha una sola radice reale e 2 complesse coniugate
per $Delta=0$ si hanno 3 radici reali di cui 2 coincidenti
per $Delta<0$ si hanno 3 radici reali tutte distinte (e' il cosiddetto "casus irreducibilis")
Volendo si puo' fare a meno del passaggio (a) e calcolare il discriminante
direttamente dall'equazione:
$x^3+ax^2+bx+c=0$ e la formula del discriminante e':
$Delta=27c^2-18abc+4a^3c+4b^3-a^2b^2$
In quest'ultimo calcolo e' necessario che il coeff. di $x^3$ sia uguale ad 1,
cosa a cui ci si puo' sempre ricondurre.
Nell'esempio da te proposto e' :
$Delta=255>0$ e dunque siamo nel primo caso.
karl