Metodo delle tangenti

[Mortimer]

Data la seguente equazione:
$6·(1 - (1 + x)^(-20))/x + 100·(1 + x)^(-20) = 93.85$

Come applico l'algoritmo di Newton per ottenere un risultato numerico?

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Fai la derivata e poi ietri un po di volte, quanto vedi che $abs(x_n - x_(n+1))$ è minore della precsione che hai scelto allora sei arrivato.

[Mortimer]

Grazie Giovanni il Chimico,
posto lo sviluppo, ditemi se è corretto il procedimento:

$D(6·(1 - (1 + x)^(-20))/x + 100·(1 + x)^(-20)-93.85)=$
$6(20x(1+x)^-21-1+(1+x)^-20)/x^2-2000(1+x)^-21$
per l'applicazione dell'algoritmo di Newton dovrei quindi ricercare un valore $0.06<x<0.07$ in quanto lo zero della funzione è compreso in questo intervallo. Quindi calcolo $f(0.07)$ e $f'(0.07)$
$f(0.07)=6·(1 - (1 + 0.07)^(-20))/0.07 + 100·(1 + 0.07)^(-20)-93.85=-4.444$
$f'(0.07)=6(20x(1+0.07)^-21-1+(1+0.07)^-20)/0.07^2-2000(1+0.07)^-21=-977.1632$
Applicando l'algoritmo:
$0.07-(-4.444)/(-977.1632)=0.0654521$
Ora il valore corretto alle prime sei cifre decimali è $0.065609$
Ma $abs(0.07-0.0654521)=0.0045479$ Se ricerco uno zero del polinomio approssimante a meno di $0.0001$ il risultato non è ancora accettabile. Quindi per ottenere una precisione maggiore dovrei applicare ancora una volta il procedimento, vero?Tutto ciò in modo sperimentale? Vale a dire ogni volta che applico il procedimento non so di quanto approssimo il valore ricercato.

Un ultimo dubbio: graficando la funzione col derive non ottengo una funzione convessa come avrei immaginato.
Risolvendo numericamente ottengo radici complesse e due radici reali, una delle quali negative. L'algoritmo di Newton mi fa perdere uno di questi zeri reali?

[Fioravante Patrone]

essendo un algoritmo deterministico, e visto che parti da un punto, se va male le iterate si perdono nella nebbia
se va bene trovi un punto

se sai (per altri motivi) che ci sono altre soluzioni, dovrai quanto meno cambiare il punto iniziale