Ciao, avrei bisogno di capire cosa sono i domini connessi,semplicemente connessi, nn connessi...e nn capisco come mai lo spazio meno un punto e sempl.connesso...e la prima volta che vedo tutto cio!
grazie a chiunque!!ciao
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da kinder » 08/12/2006, 23:55
ti rispondo in maniara un po' rustica, sperando che un matematico intervenga in maniera più rigorosa ed elegante (e spero comprensibile).
Mi riferisco ora agli spazi euclidei, perchè aiutano l'intuizione.
Un insieme è connesso se, per ogni coppia di punti appartenenti ad esso, esiste un percorso tutto interno all'insieme (fatto di punti appartenenti all'insieme) che li congiunge (questa è la connessione per archi). E' invece semplicemente connesso, se ogni coppia di punti può essere congiunta da segmenti tutti interni all'insieme (a rigore questa è la definizione di insieme convesso). Praticamente se non ha buchi.
Una definizione che ti aiuta a capire perché $RR^n$ per n>2, anche se privato di un punto rimane semplicemente connesso, è quella secondo la quale per tale insieme vale che per ogni coppia di punti A e B e per ogni coppia di archi da A in B, esiste una omotopia che trasforma il primo arco nel secondo (cioè è possibile deformare con continuità il primo arco e trasformarlo nel secondo). Se ci pensi, vedi che mentre nel piano privato di un punto questo può non accadere, nello spazio si. Che nel piano non accade lo capisci pensando ad una curva chiusa che circonda il punto mancante, e immaginando di spezzarla in due archi con due punti A e B scelti a piacere su essa. Se provi a deformare uno dei due archi per trasformarlo nell'altro, dovrai prima o poi passare attraverso il punto mancante. Nello spazio, invece, puoi sempre trovare una deformazione che aggiri il punto.
Mi riferisco ora agli spazi euclidei, perchè aiutano l'intuizione.
Un insieme è connesso se, per ogni coppia di punti appartenenti ad esso, esiste un percorso tutto interno all'insieme (fatto di punti appartenenti all'insieme) che li congiunge (questa è la connessione per archi). E' invece semplicemente connesso, se ogni coppia di punti può essere congiunta da segmenti tutti interni all'insieme (a rigore questa è la definizione di insieme convesso). Praticamente se non ha buchi.
Una definizione che ti aiuta a capire perché $RR^n$ per n>2, anche se privato di un punto rimane semplicemente connesso, è quella secondo la quale per tale insieme vale che per ogni coppia di punti A e B e per ogni coppia di archi da A in B, esiste una omotopia che trasforma il primo arco nel secondo (cioè è possibile deformare con continuità il primo arco e trasformarlo nel secondo). Se ci pensi, vedi che mentre nel piano privato di un punto questo può non accadere, nello spazio si. Che nel piano non accade lo capisci pensando ad una curva chiusa che circonda il punto mancante, e immaginando di spezzarla in due archi con due punti A e B scelti a piacere su essa. Se provi a deformare uno dei due archi per trasformarlo nell'altro, dovrai prima o poi passare attraverso il punto mancante. Nello spazio, invece, puoi sempre trovare una deformazione che aggiri il punto.
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da miuemia » 09/12/2006, 16:29
hai mai sentinto parlatre di topologia?? forse no. beh un mod intuitivo di capirlo è dato da quello che ha scritto kinder, però se vuoi sapere di più cerca su un libro di topologia generale ciao
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da GIOVANNI IL CHIMICO » 09/12/2006, 17:12
Ragiona così: se nel tuo spazio è sempre possibile, dato una linea chiusa, trasformrla in un punto allora il tuo dominio è semplicemente connesso.
Se prendi come spazio $RR^2$ vedrai che è sempre possibile farlo, se togli un punto, diciamo $P$, da $$R^2$ vedrai che ci sono due possibili tipi di linee chiuse: quelle che non circondano il punto mancante, e possono essere ricondotte ad un punto, e quelle che circondano $P$ e non possono essere trasformate fino a diventare un punto, quindi questo spazio non è semplicemente connesso.
Poi prendi $RR^3$ ed $RR^3 -P$ e vedrai che il loro comportamento è uguale, e sono semplicemente connessi, poi togli ad $RR^3$ una retta e guarda cosa succede.
Se prendi come spazio $RR^2$ vedrai che è sempre possibile farlo, se togli un punto, diciamo $P$, da $$R^2$ vedrai che ci sono due possibili tipi di linee chiuse: quelle che non circondano il punto mancante, e possono essere ricondotte ad un punto, e quelle che circondano $P$ e non possono essere trasformate fino a diventare un punto, quindi questo spazio non è semplicemente connesso.
Poi prendi $RR^3$ ed $RR^3 -P$ e vedrai che il loro comportamento è uguale, e sono semplicemente connessi, poi togli ad $RR^3$ una retta e guarda cosa succede.
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