esercizio sui polinomi...

[adriano e daje!!!]

scusate ragazzi....
qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo problema...
dimostrare che
MCD(x^(a)-1 , x^(b) -1) = x^(MCD(a,b)) -1
nn riesco a dimostrarlo...
qualcuno ha un'idea???

[lupo grigio]

Allora...

a) per $a$ intero $x^a-1$ è divisibile per $x-1$. Vale infatti l'identità...

$x^a-1= (x-1)(x^(a-1)+x^(a-2)+...+x+1)$ (1)

b) se $k$ divide $a$ allora $y^a-1$ è divisibile per $y^k-1$. Per provare ciò basta infatti porre nella (1) $x=y^k$...

Da a) e b) si deduce che se $k$ divide sia $a$ sia $b$ allora $x^k-1$ divide sia $x^a-1$ sia $x^b-1$. L'asserto è così dimostrato...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[jeanluke]

Sto cercando anchio di risolvere questo problema insieme ad adriano... siccome sono giunto anchio alle tue stesse conclusioni non mi torna in effetti una cosa.... perke ($x^k -1$) dovrebbe essere proprio il MCD, non potrebbe esistere un altro polinomio di grado maggiore che divida entrambi?

per il resto nulla da obbiettare........

[FastDaMasta]

...
Ma il quesito non ha senso ...
sicuri che a e b non appartengano ai numeri interi...
o ancora meglio ad i positivi senza lo zero...
altrimenti è banalmente dimostrabile che per $a=b=0$ si cade in assurdo...

[hark]

L'assurdo nn penso che ci sia visto che P son i numeri positivi e quindi >0 e non > o uguali a 0

[FastDaMasta]

ah...
quindi appartengono a P...
...
non c'era scritto da nessuna parte...
...
allora se così fosse la risoluzione del quesito di lupo grigio è pienamente corretta...
ineccepibile...