Implicazioni logiche e dubbi sconcertanti!

[FE]

Le due espressioni hanno la stessa tavola di verità, quindi sono logicamente equivalenti. Non ha a che fare nello specifico con il secondo caso.
Su ciò che dici di implicazione logica e materiale non so nulla, mi dispiace.
Comunque fai attenzione: quando fai una dimostrazione vuoi dimostrare la verità di una tesi. La tabella di verità ti dice solo che l'implicazione è vera, ma i valori di verità dell'ipotesi e della tesi li conosci già.
Per quanto riguarda i passaggi algebrici, non è un errore perché stai semplicemente facendo dei passaggi algebrici, la freccia è un " quindi " ma io non ci mischierei la logica perché è inutile e fai soltanto confusione. Se scrivo 2+2=4 allora 4-2=2 non è che c'è bisogno di dire "e viceversa" .

[Rggb]

Ah, l'implicazione logica...

Fondamentalmente mi è tutto chiaro, ad eccezione di questo caso, leggete con attenzione:
Se 10 è un numero dispari, allora 10 è divisibile per 2.

Le due proposizioni sono:
\(\displaystyle A \) = 10 è un numero dispari (FALSA)
\(\displaystyle B \) = 10 è divisibile per 2 (VERA)

In base alla tabella di cui sopra, l'implicazione \(\displaystyle A\Rightarrow B \) dovrebbe essere VERA, ma sinceramente mi sfugge il senso...A me sembra una frase obiettivamente falsa, sbaglio?

Sì, sbagli. E' 'l'intera frase ad essere vera. Ti faccio un controesempio:
"Se 10 è un numero dispari, allora 10 è divisibile per 7." E' vera o falsa secondo te?

Te la faccio più semplice e ti spiego perché sei stato sviato: nel linguaggio corrente siamo interessati alla verità della proposizione solo se la premessa è vera, visto che da una falsa può seguire qualunque cosa. Quindi quando facciamo esempi con la premessa falsa all'inizio rimaniamo sconcertati.

Per approfondire suggerisco anche questa interessante discussione sul Teorema Universale.

[FE]

Per spiegare ancora meglio la confusione che fai tra verità di un'implicazione e verità di una tesi che vuoi dimostrare ti cito DeMarco, Analisi Uno, che riporta a sua volta un aneddoto molto famoso:

Si racconta che a una conferenza Bertrand Russell avesse illustrato il fatto (ex falso quodlibet sequitur) sopra esposto. Uno degli ascoltatori lo sfidò: " Non ci credo! Mi dimostri che se 3=4, allora lei è il Papa." Russell non era ovviamente tenuto a dimostrare di essere il papa, visto che 3 è diverso da 4, e dunque l'implicazione è vera indipendentemente dalla verità o meno della tesi. In questo modo Russell raccolse la sfida: da 3=4 sottraendo 2 a entrambi i membri si ha 1=2; lei presume che io e il papa siamo due persone diverse, ma 1=2, quindi io sono il Papa!

[archimede2016]

Confermo anche io avevo stessi dubbi, non bisogna confondere la implicazione materiale con la implicazione logica.