Le due espressioni hanno la stessa tavola di verità, quindi sono logicamente equivalenti. Non ha a che fare nello specifico con il secondo caso.
Su ciò che dici di implicazione logica e materiale non so nulla, mi dispiace.
Comunque fai attenzione: quando fai una dimostrazione vuoi dimostrare la verità di una tesi. La tabella di verità ti dice solo che l'implicazione è vera, ma i valori di verità dell'ipotesi e della tesi li conosci già.
Per quanto riguarda i passaggi algebrici, non è un errore perché stai semplicemente facendo dei passaggi algebrici, la freccia è un " quindi " ma io non ci mischierei la logica perché è inutile e fai soltanto confusione. Se scrivo 2+2=4 allora 4-2=2 non è che c'è bisogno di dire "e viceversa" .