aiutooooo

[sastra81]

grazie a tutti quelli che mi risponderanno!!!

Prima di questo teorema ci serve un risultato che applicheremo durante la dimostrazione
COROLLARIO:
Se G è un gruppo che soddisfa la condizione minimale sui sottogruppi non pronormali e sia
N un sottogruppo normale ,nilpotente, non periodico di G
Allora N è contenuto in Z(G) (centro del gruppo G)

TEOREMA:


Sia G un gruppo risolubile e finitamente generato in piu supponiamo che lo stesso G sia per-finito non periodico [significa che esiste un sottogruppo N normale di G tale che G/N è un sottogruppo finito non periodico]
Allora si dimostra che G è abeliano
DIMOSTRAZIONE

Ammettiamo che G’(il derivato di G ovvero il sottogruppo generato dai commutatori di G ,in simboli: <[x,y]/ x,y sono elementi di G) sia periodico allora il gruppo quoziente G/G(k-1) [ sto intendendo G fratto il derivato (k-1)esimo di G ]è non periodico e percio abeliano cosicche k=2
E G’[derivato di G] è un gruppo periodico abeliano.
Sia x un elemento di G’ allora la chiusura normale x^G è un gruppo abeliano di esponente finito eogni sottogruppo proprio di x^G contenuto in <x> non è pronormale in G .Quindi x^G/<x> soddisfa la condizione minimale sui sottogruppi e percio è finito cosicche anche x^G è finito.
Sia a un elemento di ordine infinito di G e n un intero positivo tale che [a^n,x^G]=1
Allora <a^n,x^G>è un sottogruppo abeliano normale di <a,x^G>e da un corollario segue che
<a^n,x^G> sta in Z(<a,x^G>) [centro del sottogruppo generato da a e x^G]
Segue che <a,x^G> è nilpotente e percio abeliano
Quindi <a,G’> è abeliano e ancora una volta un corallario ci dice che <a,G’> è incluso nel Z(G)
Cosichhe G è nilpotente e quindi abeliano