Un numero algebrico

[karl]

Ho trovato sulla rete un quesito che mi e'
apparso interessante ( e di cui non ho la soluzione).
Lo riporto:
<b> sin(1°) e' algebrico ? </b>
Da quanto ho letto sembra che sin(1rad) sia sicuramente
non algebrico.
karl.

[Valerio Capraro]

ehm.. Karl, si può dedurre che se sin(1rad) non è algebrico, allora non è algebrico neanche sin(1/1rad)?

[karl]

Penso che la tua domanda si risolva da sola visto che 1/(1rad) non
sembra essere un angolo.Quello che si puo' affermare con certezza
e' che 1/sin(1rad) non e' algebrico:infatti se sin(1rad) non e'
radice di nessuna equazione a coefficienti razionali,non lo e'
nemmeno il suo reciproco.
karl.

[Valerio Capraro]

mi sa che ho sbagliato! ho fatto dei passaggi senza le unità di misura e poi sono andato a mettercele come se niente fosse e mi veniva 1° = 1/1rad. ma è sbaliata!
grazie, ciao
p.s. sto sbagliando troppo ultimamente!

[karl]

Non ti angustiare piu' di tanto.Con le unita'
di misura sbagliare capita spesso.
Se hai pazienza di gironzolare per il forum,di
errori miei e di altri ne trovi che ne trovi.
karl.

[Cavia]

Mediante l'uso ripetuto delle formule di somma/differenza di seno e coseno, partendo dal seno e coseno di 18°, 30° e 45° (che sono esprimibili mediante radici e sono quindi algebrici) si arriva agli angoli di 15°=45°-30° e 3°=18°-15°.
In particolare ho ricavato che:
sin(3°)=(sqrt(30)+sqrt(10)-sqrt(6)-sqrt(2)-2*sqrt(15+3*sqrt(5))+2*sqrt(5+sqrt(5)))/16.
Iterando la formula di addizione del seno di trova quella dfi triplicazione:
sin(3a)=3*sin(a)-4*(sin(a))^3
da cui
sin(3°)=3*sin(1°)-4*(sin(1°))^3
posto x=sin(1°) allora sin(1°) è soluzione dell'equazione algebrica:
4*x^3-3*x+sin(3°)=0
Con un numero finito di opportuni elevamenti al quadrato si possono far sparire tutte le radici dell'espressione di sin(3°) e quindi si ottiene un'equazione algebrica a coefficienti interi che ha per soluzione sin(1°).
Chi ha tempo e voglia, seguendo le istruzioni che ho dato, può determinarla!


Cavia

[Cavia]

Dimenticavo ... riguardo a sin(1/1 rad) ricordo che il radiante è un'unità di misura fasulla usata da alcuni fisici, perchè la misura in radianti di un angolo (essendo un rapporto di lunghezze) è un numero puro! Quindi 1 rad=1 e 1/1 rad= 1 rad = 1. Dunque sin(1 rad)=sin(1/1 rad)=sin(1)=sin(180°/pigreco)=0,017452...

Cavia

[Camillo]

Non la chiamerei fasulla ! E' ben definita : appunto come rapporto tra due lunghezze e poi più che dai fisici è usata dai matematici !

[Camillo]

Dimenticavo di dire che, ad esempio, il ben noto limite fondamentale :
lim per x che tende a 0 di sin x/ x vale 1 se e solo se gli angoli sono misurati proprio in radianti .

[Cavia]

La misura in radianti è un numero puro, mentre la misura in gradi è del tipo della dozzina. 2,5 dozzine sono un modo diverso di dire 30 e, analogamente, 1° è un modo diverso di esprimere il "numero" pigreco/180. Quando ho detto che il radiante è un'unità di misura fasulla ho inteso dire esattamente questo: 1 rad = 1 e ... basta! LA scrittura rad può essere tranquillamente omessa. Per esempio la velocità angolare alcuni la misurano in rad/s, ma in realtà si tratta semplicemente di /s e ... basta: il reciproco di un tempo!
Qualche commento sulla mia soluzione del problema proposto?

Cavia