Un numero algebrico

[goblyn]

A dire il vero l'inverso di una velocità angolare non è esattamente un tempo... cioè, è un tempo ma relativo. Es.: v=10 rad/s ==> 1/v = 0.1s/rad: ovvero 0.1 secondi è il tempo impiegato per percorrere un radiante.
Un altro esempio:

La velocità angolare si esprime in rad/s. La frequenza in 1/s [Hz]. Sono due cose diverse. Per passare da una all'altra c'è di mezzo un fattore 2<img src=icon_smile_evil.gif border=0 align=middle> che rappresenta un angolo giro, cioè 2<img src=icon_smile_evil.gif border=0 align=middle> <b>radianti</b>.

O ancora. Prendiamo la funzione del tempo cos(t). Essendo argomento di una fnzione trigonometrica t è un numero puro. Possiamo infatti scriverlo così:

cos((2<img src=icon_smile_evil.gif border=0 align=middle>/T) q)

dove T = 2<img src=icon_smile_evil.gif border=0 align=middle> è il periodo del coseno (in radianti) e q = T/(2<img src=icon_smile_evil.gif border=0 align=middle>)*t è espresso in radianti.

Quindi c'è una sottile differenza tra radianti e numeri puri, se non altro per ciò che rappresentano. Avere a mente questa differenza aiuta moltissimo a svolgere una buona analisi dimensionale di una formula, strumento utilissimo (secondo me) per non fare errori banali!

[n/a]

Devo essere veramente scemo, quando parli te, Goblyn, non ci capisco una mazza

[Camillo]

*Ieri dicevo che il limite per x che tende a 0 di sin x/x vale 1 se e
solo se l'angolo è misurato in radianti.
Se invece è misurato in gradi allora il limite vale : pi/180
(pi
significa pi greco).
Infatti se indico con x la misura in radianti di un certo angolo e
con y la misura dello stesso angolo in gradi si ha :
y= 180*x/pi .
Quindi : se x tende a 0, anche y tende a 0 e viceversa; inoltre
è: sin x = sin y.
Noi vogliamo trovare quale sia il limite per y che tende a 0 di :

siny/y che è uguale al limite per x che tende a 0 di:sinx/(180*x/pi)=
limite per x che tende a 0 di : (pi/180)*(sinx/x) =pi/180*limite per

x che tende a 0 di : sinx/x = pi/180.
C.V.D.

*Anche nel caso delle derivate di funzioni trigonometriche va posta

attenzione a quale sia l'unità di misura adottata per l'angolo.
Se è il radiante allora : D sin x = cos x e anche : Dcosx = -sin x ;

ma se l'angolo è misurato in gradi allora è facile vedere, ricordando
che la derivata è il limite del rapporto incrementale e tenendo in
conto il limite sopra calcolato che :
D sinx = pi/180*cosx e : Dcosx= -pi/180*sin x .
Quindi quando si dice che la derivata di sin x è cos x, si dà per

scontata una cosa : che si stiano misurando gli angoli in radianti .
La maggiore semplicità della formula che dà la derivata delle

funzioni trigonometriche ,nel caso si misurino gli angoli in

radianti, è senz'altro una delle ragioni del largo uso in Analisi dei
radianti.

*Per concludere sono poi pienamente d'accordo con quanto dice goblyn

nel suo post di questa mattina su radianti e numeri puri.

[Cavia]

Ribadisco per l'ultima volta (quando le cose vanno per le lunghe si rischia di annoiare): la misura in radianti è un numero puro e attribuire un'unità di misura dimensionale a un numero puro quando va bene è solo pericoloso, ma quando va male conduce ad errori madornali! Esiste una letteratura sterminata in merito (La più chiara di tutti è certamente quella del volume di meccanica di Robert W. Pohl, uno dei massimi fisici sperimentali del XiX secolo).
Buona notte

Cavia

[goblyn]

<BLOCKQUOTE id=quote><font size=1 face="Verdana, Arial, Helvetica" id=quote>citazione:<hr height=1 noshade id=quote>siny/y che è uguale al limite per x che tende a 0 di:sinx/(180*x/pi)<hr height=1 noshade id=quote></BLOCKQUOTE id=quote></font id=quote><font face="Verdana, Arial, Helvetica" size=2 id=quote>

Camillo, siny/y = sin(180*x/pi)/(180*x/pi) quindi il limite è 1 anche se l'angolo è espresso in gradi, non cambia nulla! Tu hai calcolato il limite di sin(x)/y dove y=180*x/pi, cioè x in rad e y in gradi!

[Camillo]

No, goblyn, il limite non è : 1 se l'angolo è espresso in gradi, ma

vale : pi/180= circa : 0.0174532.
Forse un passaggio da me fatto non era sufficientemente spiegato.
Ci ritorno :
quando dico " siny/y che è uguale al limite per x che tende a 0 di
(sinx)/(180*x/pi) = limite per x che tende a 0 : (pi/180)*(sinx/x)= "
etc.è corretto poichè x, y rappresentano lo stesso angolo (uno
espresso in radianti e l'altro in gradi) e quindi : sin x= sin y.
Posso quindi sostituire sin y con sin x ,( hanno lo stesso valore ) e
poi al posto di y mettere : 180*x/pi e svolgere i conti come ho fatto
, ottenendo come valore del limite : pi/180.
Quanto segue non è certo una dimostrazione ulteriore di quanto già

dimostrato sopra : è solo una " verifica sperimentale " ( so che il

termine è improprio e talvolta questi procedimenti possono portare ad
errori anche gravi, ma non in questo caso ).
Prova col calcolatorino ad eseguire questi conti :
* sin 1/1= 0.0174524 valore ben vicino a :pi/180=0.0174532 :

naturalmente bisogna settare il calcolatore a lavorare in gradi.

Ma 1 grado non è così piccolo, se provo a calcolare : sin 0.1/0.1,

sempre in gradi ottengo : 0.0174532 !!
Se poi provo , settandolo in radianti a calcolare : sin(0.1)/0.1

ottengo 0.9983341( l'angolo non è però piccolo perchè vale circa :

5.7 gradi).
Provo allora con 0.01 radianti e ottengo : sin(0.01)/0.01 =

0.9999833.
Comunque indipendentemente da queste"verifiche sperimentali"

ribadisco la correttezza del limite per x che tende a 0 di sin x/x

(con x in gradi ) = pi/180.
Camillo

[tony]

<b>delle dimensioni degli angoli e delle veloc. angolari.</b>

scusate se forse ricalco quanto è già stato detto, aggiungendo una
semplice considerazione dal punto di vista dimensionale:
<pre id=code><font face=courier size=2 id=code>
la veloc. periferica di un punto in rotaz. con vel. angol. omega è

v = omega * r
[l]
e, dimensionalmente, --- = [dimens. di omega] * [l]
[t]

[dimens. di theta]
ma, poichè [dimens. di omega] = ------------------
[t]
[l] [l]
è --- = [dimens. di theta] * ---
[t] [t]

su questo non ci piove (almeno credo); ne dedurrei che deve essere

[dimens. di theta] = [numero puro]

altrimenti, se fosse (come mi sembra qualcuno qui sostenga)

[dimens. di theta] = [qualcosa]

(dove quel "qualcosa" potrebbe avere il nome "angolo", o "radianti",
o "pigrechi", o "giri" - in inglese "rotations"-, o "cucuzzelle!"),

per quadrare bisognerebbe arzigogolare inventandosi un fattore
fantasma, che consista almeno di un [qualcosa] a denomin. per
"mandar via" il [qualcosa] a numeratore:

[l] [l] 1
--- = [qualcosa] * --- * ----------
[t] [t] [qualcosa]
come
[l] [l] 1
--- = [pigrechi] * --- * ----------
[t] [t] [pigrechi]

se così fosse, che cosa rappresenterebbe fisicamente questo fantasma

1 1 1 1
di dimens. ----------, cioè ----------, o ----------, o ------ ?
[qualcosa] [pigrechi] [radianti] [giri]
</font id=code></pre id=code>
sono perplesso, "viziato" dall'abitudine di dire "3600 giri al minuto"!
tu, come la metti, goblyn?
tony

<font color=red>modifiche a posteriori:
- ri-impaginato un poco.
- corretto un "1" facendolo diventare "l" (sono dannatemente simili)
- aggiunto l'interrogativo finale "come la metti, goblyn?"</font id=red>


*Edited by - tony on 19/02/2004 02:14:49

[goblyn]

Camillo, se scrivi sin(y)/y devi usare lo stesso numero come argomento del seno e come denominatore. Se no è come se dicessi che un oggetto che pesa 1000g è più pesante di uno che pesa 1kg solo perché 1000>1. Cioè è come se dicessi che 1000g/1kg=1000 che è sbagliato naturalmente. Se y-->0 sin(y)/y farà sempre 1.

[Camillo]

Infatti come detto nel mio ultimo post se calcoli sin(0.1 gradi)/0.1

gradi ottieni :0.0174532 molto vicino a : pi/180.
D'altronde in G. Zwirner -L.Scaglianti -Elementi di Analisi -Ed CEDAM

si legge :
"Dimostriamo che : limite per x che tende a 0 di senx/x = 1 purchè x

indichi la misura in radianti dell'angolo......
Se invece indichiamo con z la misura dell'angolo in gradi , allora si
dimostra che :
limite per z che tende a 0 di senz/z = pi/180"
segue dimostrazione che ti risparmio.
Stesse considerazioni in :
Dodero, Baroncini, Toscani -Corso di Analisi -Ed Ghisetti e Corvi.

Non sarà che non riusciamo a comunicare quello che veramente vogliamo
dire , cioè che stiamo trasmettendo su due lunghezze d'onda
differenti ?
Mah..
Camillo

[goblyn]

Rileggendo ho capito che il mio fraintendimento nasce da questo passaggio (prendo un angolo di 0.01°):

sin(0.01°) è circa (0.01°/180°)*pi rad <font color=red>e non 0.01</font id=red> (come ho superficialmente considerato io).

Da cui lim sin(y)/y=pi/180 con y espresso in gradi.

<b>Mea culpa, quindi.</b>