Dimostrazione su gruppo abeliano

[marcus112]

Dimostrare che se $G$ è un gruppo abeliano allora $(ab)^n=a^nb^n$.

Ebbene, ho pensato di fare così:

$(ab)^n=(a^-nb^-n)^-1$

$(a^-nb^-n)((a^-n)^-1(b^-)^-1)=a^-n((b^-n*(b^-n)^-1)a^((-n)^-1))=a^-n(e)a^((-n)^-1)=e$

e quindi per definizione di inverso

$(ab)^n=(a^-nb^-n)^-1=a^nb^n$

[Kashaman]

Non è più semplice ragionare per induzione su $n$?

[vict85]

Siccome per ogni \(n\ge 2\) vale \(\displaystyle a^nb^n = a(a^{n-1}b)b^{n-1} = (ab)a^{n-1}b^{n-1} \) allora la tesi si ricava applicando \(n\) volte la proprietà (ovviamente sfruttando la proprietà associativa). Questa dimostrazione è ovviamente equivalente alla dimostrazione induttiva.

[marcus112]

Quindi...da quello che intendo, partendo da $(ab)^n=a^nb^n$ dovevo far vedere , come hai fatto tu, che in $G$ l'operazione è commutativa.

Ma se volessi procedere per induzione come si deve operare per ricavare che $(ab)^(n+1)=a^(n+1)b^(n+1)$ ...

[algibro]

Io procederei in questo maniera.
Per $n=1$ $(ab)^1=ab=a^1b^1$. Allora suppongo vera l'ipotesi per cui $(ab)^n=a^nb^n$ e provo, per $n+1$, la tesi per cui $(ab)^{n+1}=a^{n+1}b^{n+1}$.
Abbiamo $(ab)^{n+1}=(ab)(ab)^{n}=a a^{n} b b^{n}$ ma per l'ipotesi induttiva $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$, quindi
$a b a^{n} b^{n}=a a^{n} b b^{n}$. Essendo $G$ abeliano posso scrivere $ba^{n}=a^{n}b$.
Così otteniamo $a a^{n} b b^{n}=a a^{n} b b^{n}$, ciò che volevamo.

Riepilogando:

$(ab)^{n+1}=(ab)(ab)^{n}=$sfrutto l'ipotesi induttiva$=a b a^{n} b^{n}=$sfrutto il fatto che $G$ è abeliano$=a a^{n} b b^{n}= a^{n+1}b^{n+1}$

Giusto ?