Gruppi ciclici e generatori

[Jt1995]

Salve a tutti..avrei bisogno della risoluzione di questo esercizio in quanto non ho capito come risolverlo!

[vict85]

Moderatore: vict85

Il regolamento prevede un tentativo da parte tua.

Inoltre l'uso delle immagini per l'inserimento del testo del problema è sconsigliato: le immagini potrebbero diventare irraggiungibili con il tempo rendendo la discussione incomprensibile.

Il problema quindi è:

Esercizio 1. Sia dato il gruppo \(\displaystyle (\mathbb{Z}_{11}^{*},\cdot) \).

1. Stabilire l’ordine del gruppo.
2. Stabilire se il gruppo è ciclico.
3. Se il gruppo è ciclico determinare tutti i generatori.

[Jt1995]

In realtà ho già fatto tentativi,ma non sono convinto

[vict85]

Esponiceli e dipaneremo i tuoi dubbi.

[banino84]

allora :

a) Con (Zn*, x ) se n è primo, (Zp*, x) ha come elementi {1,…, p-1}, quindi ha ordine p-1;
b) È ciclico;
c) generatori sono tutti i k tali che MCD (p-1,k)=1 , praticamente tutti gli elementi sono i generatori

[Jt1995]

allora :

a) Con (Zn*, x ) se n è primo, (Zp*, x) ha come elementi {1,…, p-1}, quindi ha ordine p-1;
b) È ciclico;
c) generatori sono tutti i k tali che MCD (p-1,k)=1 , praticamente tutti gli elementi sono i generatori

Mentre se n non è primo?

[tiziotizio]

Ti sbagli. Non è Ciclico in quanto i generatori sono due: [2] e [10].
I generatori si trovano elevando uno per volta i divisori della cardinalità, con potenza i divisori della cardinalità, e ottieni come risultato la cardinalità stessa.
Più facile con un esempio, consideriamo lo stesso esercizio:
1 non lo calcoliamo in quanto elemento neutro --> 1^ n sarà sempre = 1.
Vediamo con il 2: 2^2= [4] diverso da 10, (ricordo che 10 è la cardinalità),
2^5= 32 che a sua volta in Z11 è uguale a 10. Perfetto abbiamo trovato già un generatore.
Se 2 fosse l'unico generatore allora il gruppo è ciclico altrimenti non lo si può definire tale.
Svolgi i restanti divisori della cardinalità e verifica se sono generatori.

[Spike32]

Ti sbagli. Non è Ciclico in quanto i generatori sono due: $[2]$ e $[10]$.
I generatori si trovano elevando uno per volta i divisori della cardinalità, con potenza i divisori della cardinalità, e ottieni come risultato la cardinalità stessa.
Più facile con un esempio, consideriamo lo stesso esercizio:
1 non lo calcoliamo in quanto elemento neutro --> 1^ n sarà sempre = 1.
Vediamo con il $2: 2^2= [4]$ diverso da $10$, (ricordo che $10$ è la cardinalità),
$2^5= 32$ che a sua volta in $Z_11$ è uguale a $10$. Perfetto abbiamo trovato già un generatore.
Se $2$ fosse l'unico generatore allora il gruppo è ciclico altrimenti non lo si può definire tale.
Svolgi i restanti divisori della cardinalità e verifica se sono generatori.

Ciao scusami, $2^3$ e $2^4$ non li proviamo pioché tali potenze non dividono la cardinalità?

[dan95]

@Tizio

Quindi fammi capire...per te se un gruppo ha più di un generatore non è ciclico? ...Sicuro?