gruppi ipercentrali...non vi speventate dal nome :-)

[sastra81]

Ho una domanda da fare speriamo che qualcuno mi possa aiutare.....
Se G è un gruppo ipercentale e sia N un sottogruppo non banale normale di G allora si deve dimostare che N intersecato il centro di G è diverso da 1
Aiuto qualcuno ha qualche idea?
Ringrazio tutti quelli che mi risponderanno

ps Un gruppo G si dice ipercentrale se è dotato di una serie ascendente(cioe crescente )centrale
ovvero una serie di questo tipo.... 1=G(0)>G(1)>............G(n)=G ove ogni G(i)è normale in G
e ogni fattore G(i+1)/G(i) è contenuto nel centro del gruppo G/G(i)
sastra

[erasmo]

Ciao ti rispondo un po' in ritardo...

La dimostrazione e' molto semplice, e' una generalizzazione immediata di quella analoga per
i gruppi nilpotenti.

Ovviamente possiamo supporre $G$ non banale. Siccome $G$ e' ipercentrale, esiste un
ordinale $\alpha$ tale che $Z_\alpha (G) = G$ e quindi esiste anche un minimo ordinale
$\mu$ tale che $N \cap Z_\mu (G) \ne 1$ (visto che ovviamente $N \cap Z_\alpha (G) = N \cap G = N \ne 1$;
poi come sai la classe degli ordinali e' ben ordinata ).

Siccome $Z_0 (G) = 1$, deve essere $\mu > 0$ e percio' esiste $Z_{\mu - 1} (G)$.

Adesso siccome $N$ e' normale in $G$, il commutatore $[N \cap Z_\mu (G), G] <= [N, G]$ e' contenuto in $N$
e quindi in $N \cap [Z_\mu (G), G] <= N \cap Z_{\mu - 1} (G) = 1$.

Ma allora $N \cap Z_\mu (G)$ sta nel centro di $G$, e percio' anche in $N \cap Z (G)$, che e' non banale...

come volevi!

EDIT: qualche passaggio era poco chiaro

[elgiovo]

Ramanujan ci osserva...