Un po' di algebra

[karl]

Data l'equazione :
x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0
trovare la condizione a cui devono soddisfare
i suoi coefficienti perche' la somma di due radici
sia eguale alla somma delle altre due.
Provare che se tale condizione e' verificata ,allora
e' possibile,con una opportuna sostituzione sull'incognita
x,trasformare l'equazione data in un'equazione biquadratica.
karl.

[anonymous_af8479]

Conosci già la soluzione ?

La prima parte a me verrebbe 4ab-a^3-8c=0 .

La d mi risulta che possa essere arbitraria.

Ciao.

[Pachito]

Acc. Mi era sfuggito 'sto topic.
Non postare subito la soluzione che volevo provare a risolverlo.
Ciao

[Nidhogg]

I. Eliminazione del termine in x3
Per prima cosa effettueremo la sostituzione

x=y-a/4

per eliminare dall'equazione il termine di terzo grado.

(y-a/4)4+a(y-a/4)3+b(y-a/4)2+c(y-a/4)+d=0

Dopo aver sviluppato e semplificato, si perviene alla equazione:

y4+2Ay2-By-C=0

dove si è posto

A=(8b-3a2)/16; B=(4ab-8c-a3)/8; C=(3a4+64ac-16a2b-256d)/256

II. Completamento dei quadrati
Scriviamo l'equazione in questo modo

y4+2Ay2=By+C

e aggiungiamo A2 a entrambi i membri affichè al primo si formi
un quadrato perfetto.

(y2+A)2=A2+By+C

Ciao, Ermanno

[Pachito]

La seconda parte è molto semplice da dimostrare.
Dette x1,x2,x3,x4 le soluzioni, deve essere x1+x4=x2+x3, cioè
la somma delle soluzioni 'interne' deve essere uguale a quelle 'esterne'.
Se prendiamo X=(x2+x3)/2=(x1+x4)/2 e trasliamo la nostra equazione di X otteniamo due coppie di zeri simmetrici rispetto allo zero.
E' facile dimostrare che queste sono soluzioni di una biquadratica.
(x-x1)(x-x2)(x+x2)(x+x1) = (x^2-x1^2)(x^2-x2^2) = x^4-(x1^2+x2^2)x^2+x1^2x2^2

Per la prima parte si è fatto tardi. Provo domani mattina.





Modificato da - pachito il 01/03/2004 01:48:01

[Pachito]

Niente da fare! Quando ti entra il tarlo in testa... non c'è verso di addormentarsi.

<BLOCKQUOTE id=quote><font size=1 face="Verdana, Arial, Helvetica" id=quote>citazione:<hr height=1 noshade id=quote>4ab-a^3-8c=0 <hr height=1 noshade id=quote></BLOCKQUOTE id=quote></font id=quote><font face="Verdana, Arial, Helvetica" size=2 id=quote>

Concordo.
a/4 è quanto devo traslare per farla diventare una biquadratica.
facendo i conti come Leonardo scompare la x^3 e 4ab-a^3-8c=0 è la condizione per annullare il termine in x.
Se avessi letto più attentamente le loro risposte stavo già in braccio a Morfeo. 'notte