Aiuto dimostrazione per induzione

[knives]

Allora l'esercizio è il seguente:
Dimostrare per induzione che per n>=1 vale:
1^2 + 2^2 + 3^2 + .....+ n^2 = 1/6n (n+1)(2n+1)

allora per n = 1 è vera!!
per n > 1 supponendo vero che:
1^2 + 2^2 + 3^2 + .....+ n^2 = 1/6n (n+1)(2n+1)

deve accadere che:
1^2 + 2^2 + 3^2 + .....+ n^2 + (n+1)^2 = 1/6(n+1)(n+2)(2n+3)

dalla supposizione deriva che:

1^2 + 2^2 + 3^2 + .....+ n^2 + (n+1)^2 = 1/6n (n+1)(2n+1)+(n+1)^2

quindi mi basta dimostrare che:

1/6n (n+1)(2n+1)+(n+1)^2 = 1/6(n+1)(n+2)(2n+3)

A questo punto però non so come manipolare algebricamente l'identità per rendere evidente l'ugualianza.
Ogni aiuto è ben accetto.
Grazie

[MaMo]

Facendo l'm.c.d si ottiene:
[n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)^2]/6
cioè:
[(n + 1)(2n^2 + 7n + 6)]/6
Fattorizzando il trinomio con Ruffini si ottiene infine:
[(n + 1)(n + 2)(2n + 3)]/6.

[lupo grigio]

caro knives
sul forum che una volta si intitolava 'Teoria dei numeri' ed ora è cambiato in 'Congetture e Ricerca Libera' potrai trovare un topic aperto da Filippo dal titolo 'Sommatoria delle quinte potenze (n^5)' [https://www.matematicamente.it/forum/topic.asp?TOPIC_ID=186] nel quale ho descritto una procedura generale per arrivare alla somma delle potenze k-esime [nel tuo caso è k=2...]dei primi n interi...

Se dovesse esserci bisogno di spiegazioni non hai che da chiederle...

cordiali saluti!...

lupo grigio

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