Indice di un sottogruppo $H$ in $G$

[Oshawott277]

Ciao, in un esercizio mi si chiede:
Siano $H<G, K<G$ di indice finito. Mostrare che $HnnK$ ha indice finito in G. Come si può limitare superiormente l'indice di $HnnK$ in G?

Ora, io ho pensato che l'indice di un sottogruppo si comporta un po' come la dimensione per gli spazi vettoriali...
Dato che l'insieme delle classi di equivalenza in un certo senso "genera" tutto $G$ e può essere quindi considerata una base di $G$
Però non riesco a formalizzarlo. Mi aiutate? Grazie.

[herstein]

Potresti applicare il teorema di Lagrange che dice che l'ordine di ogni sottogruppo è un divisore della cardinalità del gruppo considerato. Sapendo che l'intersezione di due sottogruppi è anch'esso un sottogruppo, puoi massimarlo con la cardinalità di G

[Martino]

Occhio, G non è finito. Lagrange non si può applicare.

Osserva che $|G:H \cap K| = |G:H| \cdot |H:H \cap K|$ e prova a mostrare che $|H:H \cap K|=|HK:K|$, dove $|HK:K|$ indica il numero di laterali di $K$ della forma $hK$ con $h \in H$.

[herstein]

Essendo i sottogruppi H e K finiti, e sapendo che l'ordine del sottogruppo HunitoK deve dividere sia H che K, Chiediti qual è il numero più grande che divide l'ordine sia di H che di K, non è altro che il massimo comun divisore

[Martino]

No herstein, H e K non sono finiti. Leggi bene.

[algibro]

Scusate, spero di non scrivere una stupidata, ma come fate ad escludere l'ipotesi in cui $H \cap K ={e}$ ?
In questo caso particolare, se $G$ è di ordine infinito l'indice di $H \cap K$ in $G$ non può essere finito.

[Stickelberger]

Per un sottogruppo $N$ di $G$ scrivo $L(N)$ per l’insieme delle classi laterali sinistre di $N$.

E’ facile vedere che l’applicazione

$L(H\cap K)\rightarrow L(H) \times L(K)$

data da $x(H\cap K)\mapsto (xH, xK)$, e’ ben definita ed e’ iniettiva.

Si ha quindi che $[G:H\cap K]\le [G:H]\times[G:K]$.