Un pò di Algebra.... astratta

[Valerio Capraro]

premetto che sono due settimane che facciamo un mucchio di teoria ma niente che somigli ad un esercizio... quindi, pur sapendo decentemente la teoria, ho un pò di difficoltà ad applicarla. Metto il seguente esercizio, sperando che qualcuno possa aiutarmi:

Sia "ro" la seguente relazione su R (insieme dei reali):

xroy se e solo se x-y elemento di Z (interi)

1) verificare che ro è una relazione di equivalenza su R e che [x] = {x+n, n in Z}, x in R;

2) verificare che l'insieme quoziente R/ro è in corrispondenza biunivoca con l'intervallo [0,1) dei reali.

bene, il primo punto è piuttosto semplice e l'ho fatto, nel secondo ho avuta molta più difficoltà...
il mio ragionamento è il seguente:

devo dimostrare che, comunque presa una classe di equivalenza [x] esiste x' in tale classe tale che x' sia un reale compreso tra [0,1); dovendo essere biunivoca, devo dimostrare anche il contrario, ossia che, comunque preso un reale nell'intervallo [0,1), allora esiste una classe di equivalenza che lo contiene.

la prima parte l'ho fatta così:

se x>=0, chiamo m il più grande intero minore di x; e pongo x'=x-m; a questo punto x' è compreso tra 0 e 1, inoltre è in relazione con x (che siano in relazione si verifica al punto 1)), quindi per x>=0 la prima parte è verificata; per x<0 il ragionamento è analogo e non sto qua ascriverlo di nuovo.

per dimostrare il viceversa; possibile che è sufficiente osservare che per ogni x, x sta in [x], quindi per ogni x in [0,1) ho una classe di equivalenza che gli spetta? oppure ho commesso un errore?
oppure ho proprio sbagliato tutto e ho tentato di dimostrare in un modo qualcosa che si dimostra in altro modo?

ringrazio chiunque mi possa aiutare.

ciao, ubermensch