Sottogruppi e omomorfismi

Messaggioda xlucyx » 23/02/2007, 11:13

Salve ragazzi qualcuno sa dirmi come si svolge il seguente esercizio?
E' molto urgente perche giorno 22 ho l'ultimo appello se non lo passo dovrò aspettare settembre:

TRACCIA

a) Determinare il sottogruppo $H$ di $ZZ_20$ di ordine 10

b)Determinare il sottogruppo $K$ di $H$ di ordine 5

c)Stabilire quanti sono gli omomorfismi surgettivi $H -> K$

Vi ringrazio tutti coloro che mi aiuteranno
xlucyx
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 37 di 48
Iscritto il: 24/10/2006, 10:33

Messaggioda Cozza Taddeo » 23/02/2007, 14:11

Provo a darti qualche indicazione, anche se ho solo vaghi ricordi di algebra :roll: ...

a) Determinare il sottogruppo $H$ di $ZZ_20$ di ordine 10
Suppongo che l'operazione rispetto a cui calcolare il sottogruppo sia l'addizione ($+$).
Se non sbaglio dovrebbe essere $ZZ_20 = {[0],[1],[2],...,[19]}$ perciò per estrarre un sottoinsieme $A$ di 10 elementi rispetto ai quali l'addizione sia un'operazione interna devo necessariamente considerare gli elementi pari: $A={[0], [2], [4],...[18]}$, perché sommando due elementi pari ho un elemento pari, mentre sommando due elementi dispari trovo invece un elemento pari.
A posteriori si controlla che le proprietà di gruppo (esistenza dell'elemento neutro, esistenza dell'inverso, ecc.) sono verificate, perciò $A$ è il sottogruppo $H$ cercato.

b)Determinare il sottogruppo $K$ di $H$ di ordine 5
Seguendo un ragionamento analogo, da $H$ devo estrarre 5 elementi rispetto ai quali l'operazione di addizione sia interna. In questo caso è sufficiente scegliere gli elementi multipli di 4: $B={[0], [4], ...,[16]}$.
A posteriori si controlla che $B$ è effettivamente un gruppo e quindi è il sottogruppo $K$ cercato.

Di fronte al quesito c le mie debolissime reminescenze di algebra crollano miseramente ](*,) , spero che qualcuno di piú valente possa soccorrerti in tempo (magari integrando i miei traballanti suggerimenti).

In ogni caso in bocca al lupo per l'esame!!! :D
Cozza Taddeo
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 11 di 1640
Iscritto il: 19/02/2003, 12:51
Località: Ponzano Veneto (TV)

Messaggioda xlucyx » 23/02/2007, 20:06

Grazie infinite...anche se non capisco...non fai nessun calcolo...
cioè tu stabilisci un sottogruppo di ordine 10 solamente vedendo che sommando i numeri pari ottieni 10 numeri?
infatti se se fai $H$ generato da $<2>$ ottieni
$H={0,2,4,6,8,10,12,14,16,18}$che sono esattamente 10 elementi, quindi il sottogruppo generato $H$ generato da $<2>$ ha ordine 10 giusto?

e lo stesso per la risposta B solo che hai preso in considerazione gli elementi di $H$ non tutto $ZZ$?

mi dovete aiutare sulla c è importante vi prego ragazzi...

:*
Lucy
xlucyx
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 40 di 48
Iscritto il: 24/10/2006, 10:33

Messaggioda xlucyx » 24/02/2007, 09:44

nessuno?
xlucyx
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 42 di 48
Iscritto il: 24/10/2006, 10:33

Messaggioda fields » 24/02/2007, 10:50

Per il c), dal momento che H è isomorfo a $ZZ_2 xx ZZ_5$, basta che trovi gli omomorfismi suriettivi fra $ZZ_2 xx ZZ_5$ e $ZZ_5$, la qual cosa è sistemata della teoria...
[i]La Realtà non si capisce, alla Realtà ci si abitua[/i]
fields
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 490 di 1717
Iscritto il: 20/07/2006, 15:32
Località: Wien

Messaggioda xlucyx » 24/02/2007, 11:02

perche?e poi quello che ho detto io è giusto?
xlucyx
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 43 di 48
Iscritto il: 24/10/2006, 10:33

Messaggioda fields » 24/02/2007, 11:14

xlucyx ha scritto:perche?e poi quello che ho detto io è giusto?

Allora, più semplicemente, $ZZ_20$ è un gruppo ciclico generato ovviamente da 1. In generale se hai un gruppo ciclico C di ordine n generato da g, per trovare un sottogruppo di C di ordine x (e ovviamente x deve dividere n) basta che prendi il sottogruppo generato da $g^(n/x)$.

Nel nostro caso, $1+1=2$ ha periodo $10$, e $1+1+1+1=4$ ha periodo $5$ e quindi $H=<2>$ e $K=<4>$.
[i]La Realtà non si capisce, alla Realtà ci si abitua[/i]
fields
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 492 di 1717
Iscritto il: 20/07/2006, 15:32
Località: Wien

Messaggioda xlucyx » 24/02/2007, 11:37

mmm più semplicemente ancora una volta trovato che $H=<2>$ ha fatto $2^2=<4>$ ed hai trovato il sottogruppo di ordine 5 ($2^(10/5)$
xlucyx
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 46 di 48
Iscritto il: 24/10/2006, 10:33

Messaggioda fields » 24/02/2007, 11:54

Veniamo al c).

Se non sai i concetti teorici a cui mi riferisco, basta che osservi questo. Se C e D sono gruppi ciclici e g e' generatore di C e f e' un omomorfismo, necessariamente deve essere $f(g^n)=f(g)^n$, e quindi f e' determinato univocamente da f(g). Dunque sia $d\in D$. Ponendo $f(g)=d$ e $f(g^n)= d^n$, hai che f e' certamente un omomorfismo. Pero' bisogna controllare che sia ben definito, ovvero che se $g^n=g^m$,allora $d^n=d^m$. Se o(a) e' il periodo di un elemento a, devi dunque avere che se o(g) divide $n-m$, allora o(d) divide $n-m$. f e' suriettivo quando d e' un generatore di D. Dunque il numero di omorfismi da C in D e' pari agli elementi di D e il numero di omomorfismi suriettivi e' pari al numero di generatori di D (se gli omomorfismi risultano sempre ben definiti).

Nel nostro caso $C=H=ZZ_10$ e $D=K=ZZ_5$ (perche' H e isomorfo a $ZZ_10$ e K a $ZZ_5$. Dunque gli omomorfismi suriettivi sono pari al numero di generatori di $ZZ_5$, ovvero $4$. Infatti l'ordine del generatore di $ZZ_10$ e' 10, mentre l'ordine di un qualsiasi generatore di $ZZ_5$ e' 5, e dunque risulta in base alla considerazioni sopra che gli omomorfismi sono sempre ben definiti.
[i]La Realtà non si capisce, alla Realtà ci si abitua[/i]
fields
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 493 di 1717
Iscritto il: 20/07/2006, 15:32
Località: Wien


Torna a Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Chi c’è in linea

Visitano il forum: hydro e 1 ospite