Provo a darti qualche indicazione, anche se ho solo vaghi ricordi di algebra
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a) Determinare il sottogruppo $H$ di $ZZ_20$ di ordine 10
Suppongo che l'operazione rispetto a cui calcolare il sottogruppo sia l'addizione ($+$).
Se non sbaglio dovrebbe essere $ZZ_20 = {[0],[1],[2],...,[19]}$ perciò per estrarre un sottoinsieme $A$ di 10 elementi rispetto ai quali l'addizione sia un'operazione interna devo necessariamente considerare gli elementi pari: $A={[0], [2], [4],...[18]}$, perché sommando due elementi pari ho un elemento pari, mentre sommando due elementi dispari trovo invece un elemento pari.
A posteriori si controlla che le proprietà di gruppo (esistenza dell'elemento neutro, esistenza dell'inverso, ecc.) sono verificate, perciò $A$ è il sottogruppo $H$ cercato.
b)Determinare il sottogruppo $K$ di $H$ di ordine 5
Seguendo un ragionamento analogo, da $H$ devo estrarre 5 elementi rispetto ai quali l'operazione di addizione sia interna. In questo caso è sufficiente scegliere gli elementi multipli di 4: $B={[0], [4], ...,[16]}$.
A posteriori si controlla che $B$ è effettivamente un gruppo e quindi è il sottogruppo $K$ cercato.
Di fronte al quesito c le mie debolissime reminescenze di algebra crollano miseramente
, spero che qualcuno di piú valente possa soccorrerti in tempo (magari integrando i miei traballanti suggerimenti).
In ogni caso in bocca al lupo per l'esame!!!