Campi impossibili

[xlucyx]

Ecco il secondo quesito in cui mi sono arenata:

TRACCIA

Sapendo che $[2]$ è elemento primitivo del campo $ZZ_19$,determinare un elemento del gruppo $ZZ*_19$ avente periodo 3. e derminare l'inverso di $[2]$

Con l'inverso nn ho problemi è con il resto che non so che fare!

[lupo grigio]

In $ZZ*_19$ la sequenza delle potenze di $x$ modulo $x+8$ ha periodicità $3$. Infatti...

$x^0=1$

$x^1= 11 mod [x+8]$

$x^2= 7 mod [x+8]$

$x^3=1 mod [x+8]$

...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[xlucyx]

Grazie mille ma non ho capito molto bene per che $x+8$?

[lupo grigio]

Chiedo scusa per essere stato un pochino 'frettoloso' ma il motivo è sempre che si hanno tante cose da fare e perciò il tempo 'non basta mai'...

In generale un polinomio in $ZZ_p$ di grado qualsiasi diviso un poinomio di grado $n$ dà come resto un polinomio al più di grado $n-1$. Detto $g(x)$ il polinomio di grado $n$ [che chiamiamo polinomio generatore...] e $p(x)$ un qualsiasi polinomio definiamo...

$alpha(x)= p(x) [mod g(x)]$ (1)

Va da sè che se $g(x)$ è di grado $1$ allora il campo dei polinomi modulo $g(x)$ è composto da polinomi di grado $0$, vale a dire da costanti. La periodicità di un campo è data dalla periodicità delle potenze dell'elemento primitivo del campo. E' chiaro che in $ZZ_19$ la periodicità maassima è $18$ ossia da tutti gli ineteri modulo 19 con esclusione dello $0$. Nel tuo caso è richiesto un esempio di campo con periodicità $3$ e il primo che ho trovato utilizza come polinomio generatore $x+8$. Qui probabilmente c'è stato un fraintendimento da parte mia e per questi ti domando: occorreva trovare un campo di periodicità $3$ 'qualsiasi' oppure avente elemento primitivo $2$?...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[xlucyx]

grazie ora è più chiaro...cmq effettivamente la traccia è poco chiara, visto che dice "sapendo che..." vuoldire che sapere che [2] è elemento primitivo è necessario alla "scoperta" dell'elemento di periodicità 3

[fields]

Scusate, ma se abbiamo che $2$ è un elemento primitivo, vale che $2^18=1$, dunque $2^6$ ha periodo $3$. A meno che non abbia frainteso il problema...

[xlucyx]

oddio mi sono persa!

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oddio mi sono persa!

Che cosa significa questa ermetica affermazione?

[xlucyx]

che non ho capito la tua spiegazione

[amel]

Effettivamente mi sa che il discorso verteva su quello che ha detto fields...
E' solamente il piccolo teorema di Fermat: $2^(19-1)=1 \ =>\ (2^6)^3=1$