Ciao e benvenuto.
Partiamo dalla fine:
BucketheadLover ha scritto:Mi scuso se non uso il LaTeX, ma ho internet lento, e non posso vedere il PDF linkato. Ho impiegato 43 minuti per arrivare dove sono ora.
Posto che non ho capito a quale "PDF linkato" tu faccia riferimento, per usare il \( \LaTeX \) ti basta usarne la codifica con i relativi delimitatori, nient'altro: provvederà poi MathJax a compilare il codice \( \LaTeX \) e al tuo browser non resterà che visualizzare le formule che saranno pesanti quanto del testo normale.
Per quanto riguarda invece le tue richieste, cominciamo col primo esercizio:
Trovare una relazione \( \mathfrak{R} \) su un insieme \( S \) che non sia una funzione da \( S \) in \( S \) ma che contenga una funzione da \( S \) in \( S \).
Tu scrivi:
BucketheadLover ha scritto:- Nel primo, so che bisogna verificare tutte e sei le relazioni possibili tra insiemi, ma non so come procedere...
Suppongo che con "tutte e sei le relazioni possibili tra insiemi" tu ti riferisca alle seguenti sei tipologie di relazioni binarie:
• riflessiva;
• simmetrica;
• transitiva;
• antiriflessiva;
• asimmetrica;
• antisimmetrica.
Ora: molto probabilmente mi sto perdendo qualcosa o non ho ben capito il senso dell'esercizio, tuttavia senza sapere da quali elementi è composto \( S \) e da quali coppie di \( S^{2} \) è composta \( \mathfrak{R} \), non possiamo "verificare" alcunché. Al massimo, tentando di applicare la tua idea all'esercizio così come lo hai riportato, potremmo tentare di fare una cosa del genere: provare che una relazione su \( S \) che sia contemporaneamente di una certa tipologia, di un'altra e di un'altra ancora, non è una funzione da \( S \) in \( S \) ma contiene una funzione da \( S \) in \( S \). Tuttavia sono parecchio dubbioso a tal proposito: se per esempio \( S = \{ 1 \} \), allora a meno di andare a prendere la relazione vuota, l'unica possibile relazione è \( \mathfrak{R} = \{ ( 1, 1) \} \), che è una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva ed è ovviamente anche una funzione. Ma se prendo \( T = \{ a, b, c, d \} \) e \( \mathfrak{G} = \{ ( a, a ), ( b, b ), ( c, c ), ( d, d ), ( a, b ), ( b, a ) \} \), allora ecco che \( \mathfrak{G} \) è anch'essa riflessiva, simmetrica e transitiva ma non è una funzione, seppur la contenga.