\(func(f)\to(\forall x,y:(x,y)\in f\leftrightarrow f(x)=y)\)

[Marios]

Devo dimostrare la seguente:

Sia data una funzione \(f\) allora \(\forall x,y: (x,y)\in f\leftrightarrow f(x)=y\)

Qualcuno può aiutarmi nel capire come impostare l input del primo verso di deduzione?

[G.D.]

Non credo proprio che ci sia qualcosa da dimostrare: \( \displaystyle f(x) = y \) è solo una notazione e si adopera se e solo se \( \displaystyle (x,y) \in f \).

[garnak.olegovitc]

@G.D., si potrebbe invece to proof, dipende da come definisci \(f (x)\), esiste una definizione in generale anche senza avere a priori una funzione...

@Marios, come definisci \(f (x)\)?

[G.D.]

@G.D., si potrebbe invece to proof, dipende da come definisci \(f (x)\), esiste una definizione in generale anche senza avere a priori una funzione...

Sono curioso: illuminami!

[garnak.olegovitc]

illuminami!

non sono il sole!
Comunque prendi \(f,x,y\): $$f(x):=\begin{cases} y & \text{, se } \exists v:(v=\bigcup\{z|(x,z) \in f\} \wedge v=y) \\ \emptyset & \text{, altrimenti } \end{cases}$$ Cosí si puó dimostrare (puoi provare prima con qualche esempio prendendo una relazione e poi la stessa ma funzione, e siccome funziona per relazioni funziona anche per insiemi qualsiasi non per forza funzioni) (ovviamente tutto deve essere insieme, sennó vengono fuori insalate e magari non torna)

ps:spero sia ben definita logicamente, sará magari troppo fondazionale, ma dimostrando alla fine quello che fa/farai é passare da un "simbolo" (anche se é altro a mio parere) ad un altro

[G.D.]

Puoi citarmi qualche testo in cui si fornisce questa definizione?

[garnak.olegovitc]

vedi un po se devo riaprire i testi (gott sei dank in pdf!), scherzo e comunque:

- 1.Edition - Axiomatic Set Theory - P. Supper (p.87 Def. 40)
- 6.Edition - Introduction to mathematical logic - E. Mendelson (p. 245)
- Mengenlehre. - Ein Skript zu den Grundlagen der Mathematik mit einer Einführung in die Mathematische Logik und Modelltheorie. - Basierend auf Vorlesungen von Prof. Peter Koepke ausgearbeitet von Manfred Burghardt - Mathematisches Institut der Universität Bonn Abteilung für Grundlagenforschung der Mathematik (pg. 21 Def. 2.49)

Ciascuno da la sua, magari ne esistono altre (mi sembra simile alla famosa storia di "come definisco na coppia ordinata? Vi sono cosí tanti modelli che soddisfano l uguaglianza"..)

Cosa ho fatto io? Non ho preso nessuna di queste, ok, a dire il vero mi sono rifatto al libro di Mendelson ma per non avere cosé strane nella negazione per avere \(f(x)\) vuoto ho preferito raccogliere in quel modo (tanto basta che soddisfi la proprietá enunciata da Marios...)

Ora come ora mi vene in mente un altro modo, che "mala iurnata"... $$ f(x):=\cap\{z|(x,z)\in f\}$$ se é corretta sarebbe quel \(\{z|(x,z)\in f\}=[x]_f \) la classe (di equivalenza) di \(x\) rispetto ad \(f\), si puó definire anche per non relation, e puó essere anche vuota in quel caso...) (naturalmente tutto deve essere insieme anche qui

update: per \(f(x)\) come intersezione di \([x]_f\) il verso \(\to\) funziona, mi manca l altro, e comunque forse é meglio metterci in \(\mathrm{NBG}\) sennó iniziano i problemi proprio con il vuoto)

update: per il verso mancante, ovvero \(\leftarrow\) con qualche esempio e per non avere scritture del tipo \(\{\emptyset\}=\emptyset\) basta imporre, facile anche da ricavare se si prova a dimostrare, nell ipotesi di questo verso che \(y\neq V \to \{z|(x,z) \in f \}\neq \emptyset \to x \in \operatorname {dom}(f) \)

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ricapitolando: bisogna dimostrare le due seguenti

- \(\operatorname{func}(f)\to \forall x,y:((x,y)\in f \to f(x)=y)\)
- \(\operatorname{func}(f)\to \forall x \in \operatorname{dom}(f),y: (f(x)=y \to (x,y) \in f)\)

facciamo alcuni esempi:
1. Esempio: prendiamo

\(f:=\{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1),(3, \emptyset)\}\)

vediamo che

\(f(1)=\cap\{1,2,3\}=\cap\{\{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}, \{ \emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\}\} \} \}=\cap\{\emptyset\}=\emptyset\)

\(f(2)=\cap\{1\}=1\)

\(f(3)= \cap \{\emptyset\}=\emptyset\)

A parte vedere che \(f(1)=f(3)\), quasi per magia, non possiamo dire nient altro e tanto meno non valgono le due di sopra poiché \(f\) non é funzione..

2. Esempio: prendiamo

\(f:=\{(1,0), (1,2), (1,3), (2,1),(3, \emptyset)\}\)

vediamo, analizzando solo il caso di \(f(1)\), che

\(f(1)=\cap\{0,2,3\}=\cap\{\emptyset, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}, \{ \emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\}\} \} \}=\cap\emptyset=V\)

(con \(V\) la classe universale, quindi un non insieme)
Anche qui non possiamo dire nient altro e tanto meno non valgono le due di sopra poiché \(f\) non é funzione..

3. Esempio: prendiamo

\(f:=\{(1,0), (0,1), (2,0)\}\)

vediamo che

\(f(1)=\cap\{0\}=0\)

\(f(0)=\cap\{1\}=1\)

\(f(2)=\cap\{0\}=0\)

A parte vedere che \(f(1)=f(2)\) possiamo vedere che valgono le due di sopra poiché \(f\) é funzione..

Adesso dimostriamo le due di sopra in generale:

\(\operatorname{func}(f)\to \forall x,y:((x,y)\in f \to f(x)=y)\)

proof: \((x,y)\in f\to [x]_f \neq \emptyset \to \cap[x]_f \text{ is Set}\), dopo ció faccio vedere che \([x]_f:=\{w|(x,w)\in f\}=\{y\}\), infatti \(r \in [x]_f \to (x,r)\in f \to r=y \to r \in \{y\}\), prendo adesso un \(r \in \{y\} \to r=y \to (x,r) \in f \to r \in [x]_f\) (QED). Da ció segue che \(f(x)=\cap[x]_f=\cap\{y\}=y\) (QED)

\(\operatorname{func}(f)\to \forall x \in \operatorname{dom}(f),y: (f(x)=y \to (x,y) \in f)\)

proof: \(x \in \operatorname{dom}(f) \to \exists w:((x,w)\in f )\to f(x)=w \to w=y \to (x,y) \in f\) (QED).
(in questa proof se non prendo \(x \in \operatorname{dom}(f)\) non riesco a concludere la dimostrazione o meglio ottengo cose strane, per convincerci togliamo che \(x \in \operatorname{dom}(f)\) con sempre \(f\) funzione e prendiamo il nostro terzo esempio e prendiamo \(3\) allora abbiamo \(f(3)=\cap\emptyset=V\) ma non ho certo che \((3,V)\in f\)..

Spero di avere pensato bene, con questo penso e spero di avere risposto a Marios e di come andrebbero messe certe condizioni a seconda di come definisci \(f(x)\), curioso sono nel sapere se esiste un modo di definire \(f(x)\) tale che vale direttamente quanto scritto da Marios senza alcuna condizione come \(x \in \operatorname{dom}(f)\) !!

[G.D.]

Interessante. Prima però voglio rileggere bene il tutto un paio di volte: devo familiarizzare con questa definizione di \(f(x)\).

[Marios]

wow, grazie ad entrambi... mi avete dato molti punti di riflessione!

[garnak.olegovitc]

Interessante. Prima però voglio rileggere bene il tutto un paio di volte: devo familiarizzare con questa definizione di \(f(x)\).

nella versione piú recente degli appunti tedeschi dell UNI BONN ho trovato altro materiale che usa quanto ho scritto io, qualora ti servisse materiale piú affidabile (oltre che in inglese) :

http://www.math.uni-bonn.de/ag/logik/teaching/2016WS/Aktuelles_Skript.pdf

ps: tutto preso da http://www.math.uni-bonn.de/ag/logik/teaching/, mi hanno fregato sul tempo, inoltre gli appunti che usavo erano mi sa i primi di tutti...