Esercizio su semigruppo semplice

[aPlanetaryCitizen]

Salve a tutti! Mi sto cimentando non senza una certa difficoltà nello studio dell'algebra universale. Mi sono imbattuto in un esercizio, che si presume sia, appunto, semplice, visto che è proposto all'inizio del capitolo, ma che non riesco a capire.

L'esercizio dice, testualmente: Dimostrare che un semigruppo commutativo semplice con più di due elementi è un gruppo; è utile dimostrare prima che per ogni semigruppo commutativo S e per ogni c $\in$ S, la relazione (a,b) $\in$ $\theta$ se e solo se ac=bc è una congruenza di S.

Ora, come fa il semigruppo ad essere semplice e ad avere la congruenza $\theta$ ?? Io direi, o $\theta$ è una delle congruenze banali, o il semigruppo non è semplice.
Ho provato ad approcciarmi in vari modi, ad esempio cercando di dimostrare che un terzo elemento sarebbe stato necessariamente neutro, in caso di semplicità, ma niente da fare, non so proprio...
Potrei aver detto una serie di castronerie immani, o potrebbe essere l'esercizio mal posto, ma non do garanzie... Studiando questa materia perdo progressivamente la certezza di tutto ciò che già credo di sapere...

Un aiuto sarebbe comunque graditissimo! Grazie!

[j18eos]

CIa0, benvenut*.

...è utile dimostrare prima che per ogni semigruppo commutativo S e per ogni c $\in$ S, la relazione (a,b) $\in$ $\theta$ se e solo se ac=bc è una congruenza di S...

Non ho capìto questa riga!

[aPlanetaryCitizen]

Si' anch'io non capisco troppo bene, ma è lettera per lettera, virgola per virgola ciò che ho sulle dispense.
Comunque in altre parole la relazione è: $\theta$ = $\{ (a,b) : \forall c \in S, ac=bc \}$
e consiglia di dimostrare che tale relazione è una congruenza per ogni semigruppo.

Non saprei come spiegarlo in altro modo...

[garnak.olegovitc]

Si' anch'io non capisco troppo bene, ma è lettera per lettera, virgola per virgola ciò che ho sulle dispense.
Comunque in altre parole la relazione è: $\theta$ = $\{ (a,b) : \forall c \in S, ac=bc \}$
e consiglia di dimostrare che tale relazione è una congruenza per ogni semigruppo.

Non saprei come spiegarlo in altro modo...

sarebbe, se ricordo bene ma potrei sbagliare..., preso un semigruppo \((S, \star)\), dimostrare:
- \( \theta\) é di equivalenza su \(S\)
- \( \forall x,z \in S: ((x,z) \in \theta \to \forall y \in S: ((x \star y), (z \star y))\in \theta\))...

[Martino]

Cos'è un semigruppo semplice?

[j18eos]

@Martino Una struttura algebrica si definisce semplice se le uniche congruenze che essa ammette sono quelle banali, ovvero la relazione identità e la relazione totale.

@aPlanetaryCitizen Devi dimostrare che \(\displaystyle\theta\) sia una congruenza.

[aPlanetaryCitizen]

Risalve!
Alla fine, tempo fa lo risolsi quest'esercizio, quindi per completezza (e perché bazzicavo sul forum) posto la mia (quasi) soluzione.

Visto che non avevo cazzi di generalizzare ho deciso di prendere un semigruppo di 3 elementi distinti, a,b,c e sempre per lo stesso motivo ho dato per buono che quella descritta fosse una congruenza.
Per chiarire: fissato un qualunque elemento x di S, la relazione $ \theta_{x}={(a,b):ax=bx} $ è la congruenza di cui si parla.
Quindi in un semigruppo di 3 elementi, avremo 3 congruenze di questo tipo: $ \theta_{a}, \theta_{b}, \theta_{c} $
Il piano è dimostrare che se S è semplice, allora esiste un elemento neutro e da lì dimostrare l'esistenza dell'inverso.
La prima parte è per contronominale ovvero: se non esiste neutro $\Rightarrow \exists \theta \ne \Delta, \nabla $ ovvero, S non è semplice. Se ciò è vero è garantita l'esistenza del neutro data la semplicità di S.

Supponiamo quindi che non esista elemento neutro tra i nostri {a,b,c} e dimostriamo che $ \exists \theta \ne \Delta $
Allora $ ab\ne a$ e $ab\ne b $ in quanto nel primo caso b sarebbe neutro e nel secondo lo sarebbe a.
Quindi necessariamente $ab=c$.
allo stesso modo posso dire che $bc=a$ e $ac=b$
Inoltre, S è commutativo, quindi $ (ab)c=a(bc)=(ac)b $, ne segue, per quanto detto prima che $ c c = a a = b b $
Supponiamo ora, per assurdo, che $\forall x, \theta_{x}=\Delta$
Quindi $\theta_{a}=\theta_{b}=\theta_{c}=\Delta$
allora, necessariamente (visto che $\Delta$ contiene solo le coppie del tipo (x,x)) $(a,b)\notin\theta_{a}$ ovvero $aa\ne ab=c$ e $(a,c)\notin\theta_{c}$ ovvero $aa\ne ac=b$
ma se $ aa\ne c, aa\ne b $, per forza sarà $aa=a$. Allo stesso modo si dimostra che $ b b=b , c c=c $
Ma quindi, da $ a a = b b =c c $ segue $a=b=c$, che è assurdo. Allora è dimostrato che è impossibile che tutti i $\theta_{x}$ siano uguali alla congruenza minima. Possiamo quindi assumere che almeno uno dei $\theta_{x}$ sia $\ne \Delta$
Adesso supponiamo di nuovo per assurdo che, qualunque sia x, $\theta_{x}=\nabla$
Se così fosse, $(a,b),(a,c),(b,c)\in\theta_{x}$, ovvero $ax=bx=cx$. Qualunque sia x questa situazione porta a una contraddizione, infatti:
se x=a, ba=ca cioè c=b
se x=b, ab=cb cioè c=a
se x=c, ac=bc cioè a=b
Tutti e tre i casi contraddicono l'ipotesi (a,b,c distinti)
Quindi ho dimostrato, data la non esistenza del neutro, l'esistenza di una congruenza diversa da $\Delta$ e da $\nabla$, ovvero la non semplicità di S
Quindi in caso di semplicità è garantita l'esistenza del neutro. aaah

A questo punto sia a il nostro bell'elemento neutro. Vogliamo far vedere che ogni elemento ha inverso, ovvero $\forall x\in S \exists y : xy=a$
Allora $ab=b, ac=c, aa=a$
[Spero finora il tutto abbia un minimo senso. Comunque qui, in pratica mi sono fermato, conquistato dalla giocosità della prossima affermazione, che credo proprio non valga nulla... Ma il più era fatto...]
E bc a cosa è uguale? beh b=ab e c=ac, quindi $bc=abac=aabc=aaabac=aaaabc=aaaaaabc=aaaaaaaabc=aaaa...aabc$ verso l'infinito e oltre. Quindi — chiaramente — bc=a e b e c sono ognuno l'inverso dell'altro. Esistono neutro e inversi quindi S è gruppo.

Olé

PS: Ma come cavolo si fa il "non esiste"? internet mi dice che è \nexists , ma invece esce $\nexists$... che poi per scrivere sta roba, a logica dovrebbe essere "\ne\xists"... E il "diverso", tutto il mondo dice sia \neq; qui è \ne... Perché?? e non solo, per scrivere aa=bb=cc ho dovuto mettere gli spazi tra tutti i caratteri, altrimenti riconosceva solo l'aa, mentre bb e cc sparivano... What's goin' on here?