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Sia $H$ un gruppo finito con un sottogruppo $K$ di ordine $5$, e sia $5$ il più piccolo divisore primo dell'ordine di $H$.
Sia $X = \{ hK: h \in H \}$ l'insieme dei coset sinistri di $K$ in $H$ (quindi $K$ agisce su $X$ tramite moltiplicazione a sinistra).
Dimostrare che ogni orbita di $X$ ha lunghezza $1$.

Non riesco a trovarmi d'accordo con questo esercizio, anche se sono sicuro che sia giusto.
Infatti:
$1K \in X$
$orb(1K) = \{ h * (1K): h \in H \} = \{ (h1) K: h \in H \} = \{ hK: h \in H \} = X$
Dunque la lunghezza di quest'orbita sarebbe uguale alla cardinalità di $X$

Dove mi sbaglio?

Non sbagli, quella affermazione e' errata. Quale e' la fonte? Controlla che hai copiato l'affermazione perfettamente

Grazie, poi ho visto che avevo fatto confusione tra indice e ordine.