Esercizio con gruppo agente sull'insieme delle sue classi laterali

[robbstark]

Volevo chiedere un parere sullo svolgimento del seguente esercizio (3 punti), che credo di avere risolto correttamente.

Sia $G$ un gruppo che agisce su un insieme $X$. Fissato $g \in G$ si definisca la mappa $\theta_g : X -> X$, $\theta_g (x) = g * x$.
Si definisca inoltre $f: G -> S_X$, $f(g) = \theta_g$, dove $S_X$ è il gruppo delle permutazioni di $X$.

1) Per mostrare che $f$ è un omomorfismo:

$f(g_1 \circ g_2) (x) = \theta_{g_1 g_2} (x) = (g_1 g_2) * x = g_1 * (g_2 * x) = g_1 * \theta_{g_2} (x) = \theta_{g_1} ( \theta_{g_2} (x) ) = ( \theta_{g_1} \circ \theta_{g_2} ) (x) = f(g_1 ) \circ f(g_2 ) (x)$


2) Ora dimostrare che se $G$ è semplice o si ha $g * x = x, \ AA x \in X$ o $G$ è isomorfo ad un sottogruppo di $S_X$.

Dunque, essendo $f$ un omomorfismo, $ker f$ è un sottogruppo normale di $G$, ma essendo $G$ semplice, o $ker f = G$ o $ker f = \{ 1_G \}$.
$ker f = G$ significa che $AA g \in G, f(g) = ()$, dove le parentesi tonde vuote denotano la permutazione identica, ovvero $g*x = x, AA x \in X$.
$ker f = \{ 1_G \}$ allora $f$ è iniettivo e dunque è isomorfismo tra $G$ ed un sottogruppo di $S_X$.


3) Sia sempre $G$ semplice, $H$ un sottogruppo di indice $n>1$ in $G$, $X$ l'insieme delle classi laterali sinistre di $H$ in $G$. Dimostrare che $G$ è isomorfo ad un sottogruppo di $S_X$.

Si tratta di mostrare che l'opzione $g * x = x, \ AA x \in X$ non può andare bene in questo caso.
Sia $x = g_i H$, $g_i \notin H$. Si avrebbe che $AA g \in G, g * g_i H = g_i H$, ma $g * g_i H = (g g_i) H$. Se scelgo $g = g_i^{-1}$, viene fuori che $g_i H = H$, che è assurdo.

[Steven]

Tutto giusto direi!