GRUPPO SIMMETRICO S5

[ludovica_97]

Dimostrare che il gruppo simmetrico S5 contiene un elemento di ordine 6. Esibire n > 1 tale che il gruppo simmetrico Sn contiene un elemento di ordine $n^2$

Per la prima richiesta ho calcolato la cardinalita di S5 che e' 120 quindi tutti i possibili ordini di un elemento devono dividere 120 e 6 divide 120. In Sn so che un elemento per avere ordine 6 o e' un 6-ciclo o e' un prodotto di cicli disgiunti in cui l'mcm tra i loro ordini e' sei. So che non esiste nessun 6-ciclo in S5 quindi devo controllare se esiste almeno un prodotto di cicli disgiunti il cui ordine e' 6 percio' m.c.m=6. i due cicli avranno lunghezza 2 e 3. (12)(345) e' un prodotto di cicli appartenente a S5 che ha ordine 6. quindi ho dimostrato il primo punto.

Il primo punto e' giusto? come posso fare per il secondo??

[bobus]

Il primo sembra corretto:
(12)(345) -> ()(354) -> (12)() -> ()(345) -> (12)(354) -> ()()
quindi e' effettivamente di ordine 6.
Per il secondo immagino che sia scritto male il testo, infatti non puo' esistere un $n>1$ tale che $S_n$ contiene un elemento di oridne esattamente $n^2$ e quindi immagino debba essere un elemento di ordine almeno $n^2$.

[Stickelberger]

@bobus Invece, per $n=60$ esiste un elemento di $S_n$ di ordine esattamente $n^2$.

[bobus]

@bobus Invece, per $n=60$ esiste un elemento di $S_n$ di ordine esattamente $n^2$.

È vero! Quindi basta prendere dei numeri composti da un certo numero dei primi numeri primi con esponente 1, e sembra che, dato $ m $, sia sempre possibile trovare un $ n $ per cui in $ S_n $ c'è un elemento di ordine $ n^m $.