M.C.D. e ordine di sottogruppi ciclici

[algibro]

Sia $G={e,a,b,...,z}$ un gruppo di ordine finito con $o(G)=n$
e sia $(a)={a^i | i \in \mathbb{Z}} = {a^0, a^1, a^2,...,a^{m-1}}$ il sottogruppo ciclico generato da $a$ con $o(a)=m$
Ovviamente $m|n$ e $a^m=e$
Sia quindi, con $ (a^r)={(a^r)^i | i \in \mathbb{Z}}= {(a^r)^0, (a^r)^1, (a^r)^2,...,(a^r)^{q-1}}$ il sottogruppo ciclico di $(a)$ generato da $(a^r)$ per un qualche $r \in \mathbb{N}$, con $o(a^r)=q$
Abbiamo che $q|m$ e $q|n$, inoltre $(a^r)^q=e=a^{rq}=a^m$
Ma allora possiamo dire che esiste un sottogruppo $(a^j)$ di $(a)$ con $o(a^j)=rq$ e di conseguenza che $rq | m$
A questo punto posso in qualche modo dimostrare che se $m.c.d(r,m)=1$ allora $(a^r)=(a)$ ?

[algibro]

Provo in questa maniera.
Abbiamo $(a^r)$ sottogruppo di $(a)$, per cui $o(a^r)=q|m=o(a)$ e che $a^m=e=a^{rq}$
Ora mi chiedo, quand'è che $(a^r)=(a)$ per un certo $r \in \mathbb{N}$ ?
Sicuramente quando $o(a^r)=o(a) \Rightarrow m=q$ quindi oltre ad avere che $q|m$ è anche $m|q$
Ma se $q=m \Rightarrow rq >m$ e $m|rq$
E in ultimo, quand'è che $m|q$ e $m|rq$ ? Sicuramente quando $m$ e $r$ sono coprimi, ossia quando $M.C.D.(m,r)=1$.
Potrebbe funzionare?

Il ragionamento presumo, e spero, sia propedeutico alla risoluzione del seguente problema che altrimenti non saprei da che altra parte affrontare.
"Sia $G$ un gruppo finito di ordine non divisibile per 3, e sia $(ab)^3=a^3b^3$ per tutti gli $a,b \in G$. Dimostrare che $G$ è abeliano"

[algibro]

Mi sono impuntato nel dimostrare che ogni gruppo ciclico $(a)$ con $o(a)=n$ ha tanti generatori $(a^r)$ per ogni $r \in \mathbb{N} | r<n, M.C.D.(r,n)=1$.
Ho provato, con pazienza, a dimostrare il viceversa:

$G=(a)=\{a^i|i \in \mathbb{Z}\}=\{a,a^2,a^3,...,a^n\}$ con $o(G)=o(a)=n$ e $a^n=e$
$r \in \mathbb{Z}$ con $1<r<n$, in quanto se $r=1 \Rightarrow (a^r)=(a)$ e se $r=n \Rightarrow (a^r)=(e)$
$(a^r)$ è un sottogruppo di $G$
$(a^r)=\{a^r,(a^r)^2,(a^r)^3,...,(a^r)^m\}$ con $o(a^r)=m$ e $(a^r)^m=a^{rm}=e$

Adesso voglio far vedere che quando il $M.C.D.(r,m)$ è maggiore di $1$ se $o(a^r)=n$ allora in $o(a^r)$ ci sono delle ripetizioni.
Se $(a^r)$ deve essere un generatore di $G$ devo ipotizzare $o(a)=n=m=o(a^r)$
Ora, se $M.C.D.(r,n)=x$ con $x \in \mathbb{N}$ e $x > 1$ abbiamo che:
$x|r \Rightarrow r=xq$ con $1<q<r$
$x|n \Rightarrow n=xq'$ con $1<q'<n$
Così posso riscrivere:
$(a^r)=(a^{xq})=\{a^{xq},(a^{xq})^2,(a^{xq})^3,...,(a^{xq})^{xq'}\}$ con $o(a^{xq})=xq'$ e $a^{xqxq'}=a^{x^2qq'}=e$
Ma $rm$, avendo supposto $m=n$, è un multiplo di $n$.
Quindi come minimo abbiamo che $\frac{x^2qq'}{x}=xqq'$ è un intero tale per cui $a^{xqq'}=e$ (in quanto $n=xq'$) che equivale a scrivere $e=(a^r)^{q'} \in (a^r)$ ma con $q'<m=n$ !!! Dunque se $(a^r)$ ha lo stesso numero di elementi di $(a)$ nel primo ci sono certamente delle ripetizioni.
In conclusione, è impossibile che il numero di elementi in $(a^r)$ sia lo stesso di $(a)$ quando $M.C.D.(r,m)>1$

Mi rendo perfettamente conto della scarsa linearità, ma avrei bisogno di capire se il ragionamento è corretto, perché in caso contrario devo non aver compreso qualcosa nei gruppi ciclici. Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi !