da algibro » 25/03/2017, 23:00
Mi sono impuntato nel dimostrare che ogni gruppo ciclico $(a)$ con $o(a)=n$ ha tanti generatori $(a^r)$ per ogni $r \in \mathbb{N} | r<n, M.C.D.(r,n)=1$.
Ho provato, con pazienza, a dimostrare il viceversa:
$G=(a)=\{a^i|i \in \mathbb{Z}\}=\{a,a^2,a^3,...,a^n\}$ con $o(G)=o(a)=n$ e $a^n=e$
$r \in \mathbb{Z}$ con $1<r<n$, in quanto se $r=1 \Rightarrow (a^r)=(a)$ e se $r=n \Rightarrow (a^r)=(e)$
$(a^r)$ è un sottogruppo di $G$
$(a^r)=\{a^r,(a^r)^2,(a^r)^3,...,(a^r)^m\}$ con $o(a^r)=m$ e $(a^r)^m=a^{rm}=e$
Adesso voglio far vedere che quando il $M.C.D.(r,m)$ è maggiore di $1$ se $o(a^r)=n$ allora in $o(a^r)$ ci sono delle ripetizioni.
Se $(a^r)$ deve essere un generatore di $G$ devo ipotizzare $o(a)=n=m=o(a^r)$
Ora, se $M.C.D.(r,n)=x$ con $x \in \mathbb{N}$ e $x > 1$ abbiamo che:
$x|r \Rightarrow r=xq$ con $1<q<r$
$x|n \Rightarrow n=xq'$ con $1<q'<n$
Così posso riscrivere:
$(a^r)=(a^{xq})=\{a^{xq},(a^{xq})^2,(a^{xq})^3,...,(a^{xq})^{xq'}\}$ con $o(a^{xq})=xq'$ e $a^{xqxq'}=a^{x^2qq'}=e$
Ma $rm$, avendo supposto $m=n$, è un multiplo di $n$.
Quindi come minimo abbiamo che $\frac{x^2qq'}{x}=xqq'$ è un intero tale per cui $a^{xqq'}=e$ (in quanto $n=xq'$) che equivale a scrivere $e=(a^r)^{q'} \in (a^r)$ ma con $q'<m=n$ !!! Dunque se $(a^r)$ ha lo stesso numero di elementi di $(a)$ nel primo ci sono certamente delle ripetizioni.
In conclusione, è impossibile che il numero di elementi in $(a^r)$ sia lo stesso di $(a)$ quando $M.C.D.(r,m)>1$
Mi rendo perfettamente conto della scarsa linearità, ma avrei bisogno di capire se il ragionamento è corretto, perché in caso contrario devo non aver compreso qualcosa nei gruppi ciclici. Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi !
Ultimo bump di algibro effettuato il 25/03/2017, 23:00.