Tabella di verità a quattro variabili

[Cholesky]

Ciao a tutti,
ho questa tabella di verità che descrive una funzione di quattro variabili booleane:

Codice:

   CD | 00 | 01 | 11 | 10
AB    |    |    |    |
------+----+----+----+----
00    |  1 |  1 |  0 |  0
------+----+----+----+----
01    |  0 |  1 |  1 |  0
------+----+----+----+----
11    |  0 |  1 |  1 |  0
------+----+----+----+----
10    |  0 |  1 |  1 |  0
------+----+----+----+----


Devo descrivere la funzione booleana f in forma di somma di prodotti equivalente alla tabella di verità.

Conosco la soluzione: $f = \bar A \bar B \bar C + BD + AD $
Il problema è che non mi torna, non riesco ad arrivare a quel risultato in nessun modo.
Qualcuno di voi mi può aiutare a capire il procedimento?
Ringrazio moltissimo chi riuscirà a darmi una mano!

[Cholesky]

Nessuna idea?

Vi copio i miei calcoli passo passo, nella speranza che qualcuno riesca a trovare l'errore!

$f=\bar{A}\bar{B}\bar{C}\bar{D}+\bar{A}\bar{B}\bar{C}D+\bar{A}B\bar{C}D+\bar{A}BCD+AB\bar{C}D+ABCD+A\bar{B}\bar{C}D+A\bar{B}CD$
$f=\bar{A}\bar{B}\bar{C}(\bar{D}+D)+\bar{A}BD(\bar{C}+C)+ABD(C+\bar{C})+A\bar{B}D(\bar{C}+C)$
$f=\bar{A}\bar{B}\bar{C}+\bar{A}BD+ABD+A\bar{B}D$
$f=\bar{A}\bar{B}\bar{C}+BD(\bar{A}+A)+A\bar{B}D$
$f=\bar{A}\bar{B}\bar{C}+BD+A\bar{B}D$

(invece di $f=\bar{A}\bar{B}\bar{C}+BD+AD$, che è il risultato corretto)

[orsoulx]

Anche la tua soluzione è corretta, ma si può semplificare. Se nella terza riga duplichi il prodotto $ ABD $ (operazione lecita) puoi 'raccogliere' anche fra i due addendi finali. Dal punto di vista della tabella: il rettangolo di sei '1' nelle colonne centrali lo puoi pensare come due quadrati che si sovrappongono nella terza riga.
Ciao

[Cholesky]

Anche la tua soluzione è corretta, ma si può semplificare. Se nella terza riga duplichi il prodotto $ ABD $ (operazione lecita) puoi 'raccogliere' anche fra i due addendi finali.

Urka! Grazie mille, ce l'ho fatta... ma è stato un bel casino!
Ecco la soluzione completa:

$f=\bar{A}\bar{B}\bar{C}\bar{D}+\bar{A}\bar{B}\bar{C}D+\bar{A}B\bar{C}D+\bar{A}BCD+AB\bar{C}D+ABCD+A\bar{B}\bar{C}D+A\bar{B}CD$
$f=\bar{A}\bar{B}\bar{C}(\bar{D}+D)+\bar{A}BD(\bar{C}+C)+ABD(C+\bar{C})+A\bar{B}D(\bar{C}+C)$
$f=\bar{A}\bar{B}\bar{C}+\bar{A}BD+ABD+A\bar{B}D$
$f=\bar{A}\bar{B}\bar{C}+BD(\bar{A}+A)+A\bar{B}D$
$f=\bar{A}\bar{B}\bar{C}+BD+A\bar{B}D$
$f=\bar{A}\bar{B}\bar{C}+(B+A\bar{B})D$
$f=\bar{A}\bar{B}\bar{C}+(B+BA+A\bar{B})D$
$f=\bar{A}\bar{B}\bar{C}+(B+A)D$
$f=\bar{A}\bar{B}\bar{C}+BD+AD$

Dal punto di vista della tabella: il rettangolo di sei '1' nelle colonne centrali lo puoi pensare come due quadrati che si sovrappongono nella terza riga.Ciao

Non ho capito molto la soluzione "grafica": io posso considerare due volte la stessa riga?
E, soprattutto, a quel punto perché non considerare la seconda colonna, che è composta da quattro 1? A quel punto, nella soluzione avrei anche $\bar{C}D$...

[orsoulx]

OK. Quello che ti avevo suggerito era più semplice: nel terzo passaggio bastava scrivere $ ABD+ABD $ al posto di $ ABD $.
Le proprietà di idempotenza dell'algebra booleana lo consentono.
Per la parte grafica basta considerare che una singola cella corrisponde ad un prodotto di 4 fattori, 2 celle contigue al prodotto di tre fattori, un quadrato 2x2 o un rettangolo 1x4 al prodotto di 2 fattori e un rettangolo 2x4 ad un'unica variabile. Devi però pensare all'ultima riga come contigua alla prima e lo stesso per le colonne. La forma somma di prodotti più semplice la ottieni coprendo, con i pezzi descritti prima (eventualmente sovrapposti parzialmente), tutti gli '1', lasciando scoperti tutti gli '0'; avendo cura di usare il minimo numero di pezzi.
Coprire nell'esercizio che hai svolto la seconda colonna non è utile perché i tre '1' della terza richiederebbero comunque altri due pezzi e resterebbe ancora l''1' nell'angolo in alto a sinistra, mentre il rettangolo 2x3 si può coprire con due quadrati.
Ciao