Show that $sqrt(3) notin mathbb{Q}[sqrt(2)]$ and that $u=sqrt(3) +sqrt(2)$ is algebraic over $mathbb{Q}$ and determine an ideal $I$ such that $mathbb{Q}[X]//I cong mathbb{Q}[u]$
Sol.:
$mathbb{Q}[sqrt(2)]={a+bsqrt(2): a,b in QQ}$, perciò si tratta di determinare $a,b$ razionali tali che $a+bsqrt(2)=sqrt(3)$. Sviluppando i conti si trova che $sqrt(2)=(3-a^2-2b^2)/(2ab)$, ma ciò è assurdo poiché $sqrt(2)$ è irrazionale. Quindi la prima affermazione è verificata
$u$ è algebrico su $Q$ poiché esiste un polinomio a coefficienti in $QQ$ tale da avere $u$ come zero, e tale polinomio è $f=X^4-10X^2+1$.
Per provare l'ultimo punto ho pensato di considerare la valutazione \( \nu : \mathbb{Q}[X] \rightarrow \mathbb{Q} \) tale che \( \sum a_iX^i \mapsto \sum a_iu^i \)
Il nucleo della valutazione è $(f)$, e pertanto posso considerare la proiezione sul quoziente \( \pi: \mathbb{Q}[X] \rightarrow \mathbb{Q}[X]/(f) \) che manda ogni polinomio in $QQ[X]$ nella sua classe laterale.
Per il teorema di fattorizzazione dell'omomorfismo, ho che $QQ[X]//I cong Im (\nu)$.
Per ottenere la tesi devo verificare che è veramente $Im(\nu)=QQ[u]$, e provo a farlo per doppia inclusione:
" \( \subset \)"
Se $h=sum a_iX^i$ in $QQ[X]$, allora $nu(h)=sum a_iu^i$ in $QQ[u]$. Perciò $Im(nu) subset QQ[u]$.
" \( \supset \)"
$Im(nu) subset QQ$ è sottocampo che contiene $u=nu(X)$ e $QQ=nu(G)$, dove con $G$ intendo tutti i polinomi costanti. Perciò $QQ[u] subset Im(nu)$.
Quindi $Im(\nu)=QQ[u]$ e perciò $QQ[X]//I cong QQ[u]$
Spero di non aver commesso errori, grazie a chi vorrà segnalarmi eventuali inesattezze
