Sottogruppo normale di SU(2)

[cande95]

Ciao a tutti, ho un esercizio da risolvere che dice: dimostrare che l'unico sottogruppo normale di SU(2) è ${\pm I}$

Ho provato calcolando ma non sono certo sia la via migliore, avete qualche suggerimento?

[j18eos]

Chi è \(\displaystyle SU(2)\)?, ovvero: sapresti caratterizzare le matrici (speciali) unitarie \(\displaystyle 2\times2\)?

[cande95]

Sì, posso vederle come le matrici $ ( ( alpha , beta ),( -barbeta , baralpha ) ) $ con determinante unitario. Inoltre la condizione da soddisfare è che se K è sottogruppo di SU(2) è normale se e solo se $ AA g in G$ e $ k in K \Rightarrow gkg^-1 in K$

[j18eos]

Sapresti ulteriormente specializzare \(\displaystyle\alpha\) e \(\displaystyle\beta\)?

[cande95]

Beh essendo in SU(2) $|alpha|^2+|beta|^2=1$

[j18eos]

Ecco!

Dimostra che la funzione
\[
\varphi:\begin{pmatrix}
\alpha & \beta\\
-\overline{\beta} & \overline{\alpha}
\end{pmatrix}\in SU(2)\to(\alpha,\beta)\in\mathbb{S}^3\subset\mathbb{C}_2^2
\]
è biettiva.

[cande95]

Mi viene da dire che visto che SU(2) è iso ai quaternioni unitari che sono iso a $S^3$ allora SU(2) è iso a $S^3$. Però non vedo dove vogliamo arrivare

[j18eos]

Esatto: riesci a interpretare geometricamente la moltiplicazione in \(\displaystyle SU(2)\) "su" \(\displaystyle\mathbb{S}^3\)?

[cande95]

Esatto: riesci a interpretare geometricamente la moltiplicazione in \(\displaystyle SU(2)\) "su" \(\displaystyle\mathbb{S}^3\)?

Sinceramente no, anche perché non ho molta dimestichezza con \(\displaystyle\mathbb{S}^3\)

[j18eos]

Ok: lasciamo stare l'interpretazione geometrica...

Dimostrazione algebrica: sai che \(\displaystyle SU(2)_{\displaystyle\{\pm I\}}\) è isomorfo a \(\displaystyle SO(3)\), quest'ultimo è semplice, quindi non vi sono sottogruppi normali in \(\displaystyle SU(2)\) che contengano propriamente \(\displaystyle\{\pm I\}\)!