Sto affrontando questo problema che è contrassegnato da un asterisco di difficoltà, ma siccome mi sembra che la soluzione sia abbastanza scontata vorrei capire dove sto sbagliando (autostima a livelli minimi...).
Se $H$ è un sottogruppo di indice finito in $G$, dimostrare che esiste solo un numero finito di sottogruppi della forma $aHa^{-1}$
$\exists k \in \mathbb{N} | ko(H)=o(G)$
quindi esiste un numero finito di laterali del tipo $Ha={ha |h \inH}$, esattamente ne esistono $k$.
Per un certo $x \in G$ si ha $aha^{-1}=x$ e dunque $a^{-1}aha^{-1}=a^{-1}x \Rightarrow ha^{-1}=a^{-1}x$.
che è un elemtento della classe laterale $Ha^{-1}$
Inoltre, ma credo a questo punto sia superficiale, $a^{-1}x \in G \Rightarrow (a^{-1}x)^{-1}=x^{-1}a$ e la classe
$aH={ha |h \inH}$ è composta, per la relazione di equivalenza, da tutti gli elementi $x \in G | x^{-1}a \in H$
Quindi ogni elemento di $aHa^{-1}$ è in corrispondenza biunivoca con un elemento della classe laterale.
Segue che se l'indice di $H$ in $G$ è finito allora esistono solo un numero finito di sottogruppi della forma $aHa^{-1}$