Contare sottogruppi di un certo ordine in un gruppo abeliano finito

[Shocker]

Salve,

questa sera ho provato a contare i sottogruppi $H$ di $G = \mathbb{Z_30} xx \mathbb{Z_60}$ di ordine $100$. In questi esercizi non ho quasi mai la più pallida idea di come procedere, per cui improvviso: innanzitutto porto $G$ nella forma canonica delle $p-$torsioni: $G ∼ (\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_4} ) xx (\mathbb{Z_3} xx \mathbb{Z_3}) xx (\mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5})$, noto che in $G$ non ci sono elementi né di ordine $100$ né di ordine $25$ dunque escludo a priori che ci siano sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z_100}$ o che contengano $5-$torsioni isomorfe a $\mathbb{25}$, insomma se $H < G$ ha ordine $100$ allora o $H ∼ \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5}$ oppure $H ∼ \mathbb{Z_4} xx \mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5}$, chiaramente sottogruppi di questo tipo esistono: dalla forma canonica di $G$ è possibile trovare dei generatori che mi diano sottogruppi di ordine 100 isomorfi a quelli appena scritti; Ora:

• Caso $H ∼ \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5}$: se ho fatto bene i conti gli elementi di ordine $2$ in $H$ sono $3$, quelli di ordine $5$ sono $24$ e quelli di ordine $10$ sono $62$, ma anche in $G$ ho tre elementi di ordine $2$, $24$ di ordine $5$ e $62$ di ordine $10$, quindi ho un unico sottogruppo di ordine $100$ di questo tipo;
• caso $H ∼ \mathbb{Z_4} xx \mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5}$, in questo caso ho $24$ elementi di ordine $5$ in $H$, $2$ elementi di ordine $4$ in $H$, $H$ contiene già tutti gli elementi di ordine $5$, mi devo chiedere allora quanti sono gli elementi di ordine $4$ in $G$, ebbene ne dovrebbero essere $4$, dunque ho $2$ sottogruppi($2$ perché il numero di sottogruppi ciclici di ordine $4$ è $\frac{4}{\phi(4)}$) di ordine $100$ isomorfi a $\mathbb{Z_4} xx \mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5}$

Quindi in totale ho $3$ sottogruppi di ordine $100$ in $G$.

Che dite va bene? C'è un metodo generale, uno schema da seguire? Di solito per contare i sottogruppi di un gruppo abeliano è meglio usare la forma canonica con le $p-$torsioni oppure quella che "discende" dalla forma normale di Smith?

[Martino]

In questi casi tornano utili i teoremi di Sylow: guardando ai sottogruppi di Sylow di un sottogruppo di ordine 100 ti accorgi che un sottogruppo di ordine 100 deve contenere il 5-Sylow $ZZ_5 xx ZZ_5$ di $G$ e un sottogruppo di $ZZ_2 xx ZZ_4$ di ordine $4$, quindi sei ridotto a contare i sottogruppi di ordine $4$ in $ZZ_2 xx ZZ_4$.

$ZZ_2 xx ZZ_4 = <a> xx <b>$ ha due sottogruppi ciclici di ordine $4$ (cioe $<(1,b)>$ e $<(a,b)>$) e uno non ciclico di ordine $4$ (cioe $<a> xx <b^2>$) quindi in totale $3$.

[Shocker]

Grazie Martino!

In sostanza per contare i sottogruppi di un certo numero basta contare i $p-$sottogruppi dei $p-$sylow del gruppo, chiaramente tenendo conto della loro struttura(se è ciclico o mento etc.), giusto?

Bene quindi che ne so, contiamo i sottogruppi $K$ di ordine $60$ in $G$(come sopra), $K$ può essere o ciclico o isomorfo a $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_3} xx \mathbb{Z_5}$, facciamo i casi:

1)$K$ isomorfo a $\mathbb{Z_60} ∼ \mathbb{Z_4} xx \mathbb{Z_3} xx \mathbb{Z_5}$ allora in $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_4}$ ho due sottogruppi di ordine $4$ ciclici, in $\mathbb{Z_3} xx \mathbb{Z_3}$ ho $\frac{8}{\phi(3)} = 4$ sottogruppi ciclici di ordine $3$, in $\mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5}$ ho $\frac{24}{\phi(5)} = 6$ sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z_5}$, quindi in totale ho $2*4*6 = 48$ sottogruppi ciclici di ordine $60$;

2)$K ∼ \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_3} xx \mathbb{Z_5}$, in questo caso di sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_2}$(che sono contenuti in $\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_4}$) ne ho uno solo, mentre per gli $\mathbb{Z_3}$ e $\mathbb{Z_5}$ la situazione resta invariata, quindi in totale ho $1*4*6 = 24$ sottogruppi di ordine $60$ di questo tipo.

In totale ho quindi $72$ gruppi di ordine $60$in $G$, giusto?

Ciao!

[Martino]

Sì giusto, anche se io la farei più semplice: $ZZ_4 xx ZZ_2$ ha $3$ sottogruppi di ordine $4$, $ZZ_3 xx ZZ_3$ ha $4$ sottogruppi di ordine $3$, $ZZ_5 xx ZZ_5$ ha $6$ sottogruppi di ordine $5$. Quindi in totale $G$ ha $3*4*6 = 72$ sottogruppi di ordine $4*3*5=60$.

[Shocker]

Ciao,

sì hai ragione, la tua soluzione è migliore!
Ho altre due domande, magari vado ot:
1)se volessi contare i sottogruppi di un dato ordine di un gruppo non abeliano? Sì procede in modo "quasi identico"? Cioè conto i p-sottogruppi dei p-sylow e vedo se il loro prodotto è ancora un sylow? Anche se mi sembra molto molto più difficile perché potrebbero esserci più p-sylow!

2)L'altra forma canonica per i gruppi abeliani, cioè quella linkata nel primo post, in che contesto si usa?

Grazie per la disponibilità Martino!

[Martino]

1)se volessi contare i sottogruppi di un dato ordine di un gruppo non abeliano? Sì procede in modo "quasi identico"? Cioè conto i p-sottogruppi dei p-sylow e vedo se il loro prodotto è ancora un sylow? Anche se mi sembra molto molto più difficile perché potrebbero esserci più p-sylow!

Se il gruppo è nilpotente e conosci la struttura dei Sylow allora il procedimento è lo stesso. Ma in generale (cioè se il gruppo non è necessariamente nilpotente) questa tecnica non funziona perché il prodotto (interno) tra due sottogruppi (anche di ordine coprimo) in generale non è un sottogruppo.

2)L'altra forma canonica per i gruppi abeliani, cioè quella linkata nel primo post, in che contesto si usa?

Ha il pregio di essere una scrittura unica (e quindi parametrizza i gruppi abeliani finiti). Detto questo io non l'ho mai usata, ma per esempio avevo visto che nei problemi riguardanti la costante di Davenport la usano.

[Shocker]

Perfetto.

Grazie mille Martino