Prodotti semidiretti isomorfi

Messaggioda Shocker » 10/04/2017, 19:15

Buonasera,

stavo facendo qualche esercizio per impadronirmi di questo strumento:

Siano $H, K$ due gruppi, $\phi, \psi: K \to Aut(H)$ omomorfismi, se esistono $\alpha \in Aut(H)$ e $\beta \in Aut(K)$ tali che $\forall k \in K$ si ha che $\alpha \circ \phi(k) \circ \alpha^-1 = \psi(\beta(k)) \forall h in H$ allora $H \rtimes_\phi K∼ H \rtimes_\psi K$


Quindi, per esempio, prendiamo $H = \mathbb{Z_25}$ e $K = \mathbb{Z_4}$, dato che $Aut(\mathbb{Z_25}) ∼ \mathbb{Z_25^{**}} ∼ \mathbb{Z_20}$ ho $(4, 20) = 4$ omomorfismi $\phi: \mathbb{Z_4} \to Aut(\mathbb{Z_25})$, identificando $Aut(\mathbb{Z_25})$ con $\mathbb{Z_20}$ gli omomorfismi possibili sono:
1)$\phi_0$ che manda $[1]_4$ in $[0]_20$;
2)$\phi_1$ che manda $[1]_4$ in $[10]_20$, in questo caso $Im\phi_1$ ha cardinalità $2$;
2)$\phi_2$ che manda $[1]_4$ in $[5]_20$ e quindi $|Im\phi_2| = 4$ quindi va nel $2-$sylow di $\mathbb{Z_20}$;
3)$\phi_3$ che manda $[1]_4$ in $[15]_20$ la cui immagine va anch'essa nell'unico $2-$sylow di $\mathbb{Z_20}$.

Concentriamoci sugli ultimi due, voglio dimostrare che $\mathbb{Z_25} \rtimes_{\phi_2} \mathbb{Z_4} ∼ \mathbb{Z_25} \rtimes_{\phi_3} \mathbb{Z_4}$ con la proposizione enunciata a inizio post: come $\alpha$ scelgo l'identità(in realtà è indifferente cosa scelgo visto che il gruppo è abeliano, giusto?), come $\beta$ scelgo una mappa che manda $k$ nel $k'$ tale che $\psi(k') = \phi(k)$: tuttavia non so come dimostrare che $\beta$ è un automorfismo l'automorfismo di $\mathbb{Z_4}$ che manda ogni elemento $k$ nel suo inverso, in questo modo i due omomorfismi $\phi_2, \phi_3$ coincidono! . Insomma, nella maggior parte dei casi ho difficoltà a definire e dimostrare che $\beta$ è un automorfismo, non riesco a vederlo.
Per quanto riguarda le possibili relazioni fra $\phi_1$ e $\phi_2, \phi_3$ onestamente non so come procede, l'intuizione mi dice che i semidiretti indotti da $\phi_1$ e quelli indotti dagli altri due non sono isomorfi fra loro,
EDIT: in realtà il semidiretto indotto da $\phi_1$ non è isomorfo al semidiretto indotto da $\phi_2$: basta fare la prova con i due $\beta \in Aut(\mathbb{Z_4})$ possibili.

Pareri? Consigli? Sto procedendo bene?


Grazie a tutti, ciao!
#NikkioAlleIMO - https://www.youtube.com/watch?v=vEl5bFIALb8

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Re: Prodotti semidiretti isomorfi

Messaggioda Martino » 12/04/2017, 18:48

Ciao, cerco di fare un po' di ordine.

Innanzitutto

$phi_2:ZZ_4 \to Aut(ZZ_{25})$ manda $1$ in $7$ (ovvero la mappa $x to 7x$), e più in generale $k$ in $7^k$ (ovvero la mappa $x to 7^kx$).

$phi_3:ZZ_4 \to Aut(ZZ_{25})$ manda $1$ in $18=-7$ (ovvero la mappa $x to 18x$) e più in generale $k$ in $18^k$ (ovvero la mappa $x to 18^k x$).

Ho scelto $7$ e $18$ e non $5$ e $15$ perché la notazione risulta molto più efficace se pensi agli elementi di $Aut(ZZ_{25})$ come "moltiplicazione per $a in ZZ_{25}$" dove $a$ è un'unità. Ho scelto $a=7$ e $a=18$ appunto.

Ora come giustamente dici $alpha$ non farà nessun effetto quindi puoi pure prenderla come l'identità. La condizione diventa quindi $phi_2(k)(x) = \phi_3(beta(k))(x)$ per ogni $x in ZZ_{25}$. Ora $beta \in Aut(ZZ_4)$ quindi possiamo scrivere $beta(k) = bk$ dove $b \in ZZ_4$ è invertibile (cioè $b in {1,3}$). La questione diventa: come scegliamo $b$?

La tua condizione $phi_2(k)(x) = phi_3(beta(k))(x)$ diventa:

$7^k x = \phi_2(k)(x) = \phi_3(\beta(k))(x) = \phi_3(bk)(x) = 18^{bk}x$ per ogni $x in ZZ_{25}$,

cioè $7=18^b$. Siccome $7$ e $18$ sono gli unici elementi di ordine $4$ la scelta $b=3$ sicuramente funziona.

In altre parole scegli $alpha$ l'identità e $beta$ la moltiplicazione per $3$ (che coincide col "cambio di segno").
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Re: Prodotti semidiretti isomorfi

Messaggioda Shocker » 15/04/2017, 16:55

Ciao Martino!

Grazie per la pazienza: ho la brutta abitudine di non "tornare indietro" quando, in questi esercizi, identifico un gruppo di automorfismi con gruppo noto. Quindi il risultato è corretto, grazie! Inoltre come l'hai scritto tu mi è ancora più chiaro :)

Più tardi posto, sempre qui, se per te va bene, un altro esercizio di questo tipo. Grazie, ciao :)
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