stavo facendo qualche esercizio per impadronirmi di questo strumento:
Siano $H, K$ due gruppi, $\phi, \psi: K \to Aut(H)$ omomorfismi, se esistono $\alpha \in Aut(H)$ e $\beta \in Aut(K)$ tali che $\forall k \in K$ si ha che $\alpha \circ \phi(k) \circ \alpha^-1 = \psi(\beta(k)) \forall h in H$ allora $H \rtimes_\phi K∼ H \rtimes_\psi K$
Quindi, per esempio, prendiamo $H = \mathbb{Z_25}$ e $K = \mathbb{Z_4}$, dato che $Aut(\mathbb{Z_25}) ∼ \mathbb{Z_25^{**}} ∼ \mathbb{Z_20}$ ho $(4, 20) = 4$ omomorfismi $\phi: \mathbb{Z_4} \to Aut(\mathbb{Z_25})$, identificando $Aut(\mathbb{Z_25})$ con $\mathbb{Z_20}$ gli omomorfismi possibili sono:
1)$\phi_0$ che manda $[1]_4$ in $[0]_20$;
2)$\phi_1$ che manda $[1]_4$ in $[10]_20$, in questo caso $Im\phi_1$ ha cardinalità $2$;
2)$\phi_2$ che manda $[1]_4$ in $[5]_20$ e quindi $|Im\phi_2| = 4$ quindi va nel $2-$sylow di $\mathbb{Z_20}$;
3)$\phi_3$ che manda $[1]_4$ in $[15]_20$ la cui immagine va anch'essa nell'unico $2-$sylow di $\mathbb{Z_20}$.
Concentriamoci sugli ultimi due, voglio dimostrare che $\mathbb{Z_25} \rtimes_{\phi_2} \mathbb{Z_4} ∼ \mathbb{Z_25} \rtimes_{\phi_3} \mathbb{Z_4}$ con la proposizione enunciata a inizio post: come $\alpha$ scelgo l'identità(in realtà è indifferente cosa scelgo visto che il gruppo è abeliano, giusto?), come $\beta$ scelgo una mappa che manda $k$ nel $k'$ tale che $\psi(k') = \phi(k)$: tuttavia non so come dimostrare che $\beta$ è un automorfismo l'automorfismo di $\mathbb{Z_4}$ che manda ogni elemento $k$ nel suo inverso, in questo modo i due omomorfismi $\phi_2, \phi_3$ coincidono! . Insomma, nella maggior parte dei casi ho difficoltà a definire e dimostrare che $\beta$ è un automorfismo, non riesco a vederlo.
Per quanto riguarda le possibili relazioni fra $\phi_1$ e $\phi_2, \phi_3$ onestamente non so come procede, l'intuizione mi dice che i semidiretti indotti da $\phi_1$ e quelli indotti dagli altri due non sono isomorfi fra loro,
EDIT: in realtà il semidiretto indotto da $\phi_1$ non è isomorfo al semidiretto indotto da $\phi_2$: basta fare la prova con i due $\beta \in Aut(\mathbb{Z_4})$ possibili.
Pareri? Consigli? Sto procedendo bene?
Grazie a tutti, ciao!