Gruppi di ordine 336

[robbstark]

Vorrei verificare le mie risposte a delle domande generali sui gruppi di ordine $336$.

Per prima cosa trovare tutti i gruppi abeliani di ordine $336$ a meno di isomorfismi.
Si tratta di scrivere i possibili prodotti di p-gruppi ciclici. Dato che $336 = 2^4 \times 3 \times 7$, individuo le seguenti 5 possibilità: $C_{16} \times C_{3} \times C_{7}$, $C_{8} \times C_{2} \times C_{3} \times C_{7}$, $C_{4} \times C_{4} \times C_{3} \times C_{7}$, $C_{4} \times C_{2} \times C_{2} \times C_{3} \times C_{7}$ e $C_{2} \times C_{2} \times C_{2} \times C_{2} \times C_{3} \times C_{7}$. È possibile raggruppare i prodotti con indici primi tra loro, quindi per esempio il primo gruppo coincide con $C_{336}$.

Determinare i possibili "composition factors" e "chief factors" (non sono sicuro di come tradurli in italiano) di un gruppo di ordine 336.
I composition factors devono essere gruppi semplici di ordine pari ad un divisore di $336$. Questi possono essere i gruppi ciclici $C_2$, $C_3$, $C_7$ o un gruppo non aneliamo di ordine $168$, che denoto con $L$.
I chief factors invece sono prodotti di gruppi semplici isomorfi, quindi $L$, $C_7$, $C_3$, $C_2$, $C_{2} \times C_{2}$, $C_{2} \times C_{2} \times C_{2}$ o $C_{2} \times C_{2} \times C_{2} \times C_{2}$.

Il punto seguente è quello che mi lascia maggiori dubbi. Si ipotizzi una chief series $G = G_0 \ge G_1 \ge ... \ge G_r = \{ 1 \}$. Se $G$ ha ordine $336$, quali sono i possibili valori di $r$?
Basandomi sulla risposta al punto precedente mi viene da scrivere le possibili sequenze di chief factors, $G_i/G_{i*1}$, tali che i prodotti dei loro ordini restituiscano $336$. Queste sono $[L,C_2]$, $[C_7, C_3, C_2, C_2, C_2, C_2]$, $[C_7, C_3, C_2 \times C_2, C_2, C_2]$, $[C_7, C_3, C_2 \times C_2, C_2 \times C_2]$, $[C_7, C_3, C_2 \times C_2 \times C_2, C_2]$ e $[C_7, C_3, C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2]$. Da queste si deduce che i possibili valori di $r$ sono $2$, $3$, $4$, $5$ e $6$.

Il dubbio principale è se dati i possibili chief factors, posso essere certo che esista almeno un gruppo che generi ciascuna delle sequenze che ho elencato nell'ultimo punto (credo la risposta sia affermativa, ma eventualmente vorrei capire meglio il perché).

[Martino]

Ciao!

"composition factor" = "fattore di composizione" = sottogruppo subnormale minimale di un quoziente di $G$,
"chief factor" = "fattore principale" = sottogruppo normale minimale di un quoziente di $G$.

Il dubbio principale è se dati i possibili chief factors, posso essere certo che esista almeno un gruppo che generi ciascuna delle sequenze che ho elencato nell'ultimo punto (credo la risposta sia affermativa, ma eventualmente vorrei capire meglio il perché).

Fai una domanda del tutto legittima e la mia congettura è che chi ha proposto l'esercizio non si sia posto questo problema di interpretazione. Secondo me la risposta a cui pensava è quella che hai dato. Ma volendo indagare il problema che poni...

$[L,C_2]$

Un gruppo che realizza questo è $L xx C_2$.

$[C_7, C_3, C_2, C_2, C_2, C_2]$

Un gruppo che realizza questo è $C_7 xx C_3 xx C_2 xx C_2 xx C_2 xx C_2$.

$[C_7, C_3, C_2 \times C_2, C_2, C_2]$

Un gruppo che realizza questo è $A_4 xx C_7 xx C_2 xx C_2$.

$[C_7, C_3, C_2 \times C_2, C_2 \times C_2]$

Un gruppo che realizza questo è $C_7 xx G$ dove $G=\{(x,y) \in A_4 xx A_4\ :\ xK=yK\}$ dove $K$ è il $2$-Sylow di $A_4$.

$[C_7, C_3, C_2 \times C_2 \times C_2, C_2]$

Un gruppo che realizza questo è $C_7 xx C_2 xx G$ dove $G$ è il prodotto semidiretto \( \displaystyle (C_2 \times C_2 \times C_2) \rtimes C_3 \) dove l'azione di $C_3$ è data dallo shift delle coordinate: un generatore di $C_3$ agisce facendo $(x,y,z) to (z,x,y)$. [Invece no: vedere prossimo intervento.]

$[C_7, C_3, C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2]$

Questo caso è il più interessante, e pensandoci un attimo la questione diventa la seguente: esiste un sottogruppo $H$ di $GL(4,2)$ che agisca in modo irriducibile su $ZZ_2^4$ e che abbia ordine che divide $21$? La risposta è no, un modo di vederlo è consultare le librerie esistenti (vedi per esempio qui, "Soluble irreducible subgroups of GL(4, 2)"). Probabilmente con un po' di fatica si vede anche facendo i conti, adesso non sono nello spirito per farli di sicuro il caso $|H| = 3$ è subito escluso dal fatto che $ZZ_2^4$ avrebbe di sicuro un sottospazio invariante di dimensione al massimo $3$ (ovvero \( \displaystyle \) dove $0 ne v in ZZ_2^4$ e $H=<x>$). Per escludere $|H|=7$ e $|H|=21$ bisogna fare più fatica.

[robbstark]

Interessante, grazie della risposta.
Ci metterò un po' ad esplorare i suggerimenti, ma almeno ho visto che il dubbio non ha una risposta banale.

[Martino]

Un dettaglio:

$[C_7, C_3, C_2 \times C_2 \times C_2, C_2]$

Un gruppo che realizza questo è $C_7 xx C_2 xx G$ dove $G$ è il prodotto semidiretto \( \displaystyle (C_2 \times C_2 \times C_2) \rtimes C_3 \) dove l'azione di $C_3$ è data dallo shift delle coordinate: un generatore di $C_3$ agisce facendo $(x,y,z) to (z,x,y)$.

In realtà questa azione non è irriducibile perché ammette il sottospazio invariante ${(x,x,x)\ :\ x in C_2}$.

Un gruppo che realizza quella famiglia di fattori principali in realtà è $C_2 xx C_3 xx G$ dove $G$ è il prodotto semidiretto \( \displaystyle (C_2 \times C_2 \times C_2) \rtimes C_7 \) dove l'azione di $C_7$ è data dalla considerazione seguente.

Il gruppo moltiplicativo $U$ del campo \( \displaystyle \mathbb{F}_8 \) (il campo con otto elementi) è ciclico di ordine $7$ e per ogni $a \in U$ la mappa \( \displaystyle f_a: \mathbb{F}_8 \to \mathbb{F}_8 \) data dalla moltiplicazione per $a$ è un omomorfismo \( \displaystyle \mathbb{F}_2 \) -lineare che induce un'azione regolare su $U$, in particolare \( \displaystyle a \mapsto f_a \) è un'azione irriducibile di $C_7$ su $C_2 xx C_2 xx C_2$.