Vorrei verificare le mie risposte a delle domande generali sui gruppi di ordine $336$.
Per prima cosa trovare tutti i gruppi abeliani di ordine $336$ a meno di isomorfismi.
Si tratta di scrivere i possibili prodotti di p-gruppi ciclici. Dato che $336 = 2^4 \times 3 \times 7$, individuo le seguenti 5 possibilità: $C_{16} \times C_{3} \times C_{7}$, $C_{8} \times C_{2} \times C_{3} \times C_{7}$, $C_{4} \times C_{4} \times C_{3} \times C_{7}$, $C_{4} \times C_{2} \times C_{2} \times C_{3} \times C_{7}$ e $C_{2} \times C_{2} \times C_{2} \times C_{2} \times C_{3} \times C_{7}$. È possibile raggruppare i prodotti con indici primi tra loro, quindi per esempio il primo gruppo coincide con $C_{336}$.
Determinare i possibili "composition factors" e "chief factors" (non sono sicuro di come tradurli in italiano) di un gruppo di ordine 336.
I composition factors devono essere gruppi semplici di ordine pari ad un divisore di $336$. Questi possono essere i gruppi ciclici $C_2$, $C_3$, $C_7$ o un gruppo non aneliamo di ordine $168$, che denoto con $L$.
I chief factors invece sono prodotti di gruppi semplici isomorfi, quindi $L$, $C_7$, $C_3$, $C_2$, $C_{2} \times C_{2}$, $C_{2} \times C_{2} \times C_{2}$ o $C_{2} \times C_{2} \times C_{2} \times C_{2}$.
Il punto seguente è quello che mi lascia maggiori dubbi. Si ipotizzi una chief series $G = G_0 \ge G_1 \ge ... \ge G_r = \{ 1 \}$. Se $G$ ha ordine $336$, quali sono i possibili valori di $r$?
Basandomi sulla risposta al punto precedente mi viene da scrivere le possibili sequenze di chief factors, $G_i/G_{i*1}$, tali che i prodotti dei loro ordini restituiscano $336$. Queste sono $[L,C_2]$, $[C_7, C_3, C_2, C_2, C_2, C_2]$, $[C_7, C_3, C_2 \times C_2, C_2, C_2]$, $[C_7, C_3, C_2 \times C_2, C_2 \times C_2]$, $[C_7, C_3, C_2 \times C_2 \times C_2, C_2]$ e $[C_7, C_3, C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2]$. Da queste si deduce che i possibili valori di $r$ sono $2$, $3$, $4$, $5$ e $6$.
Il dubbio principale è se dati i possibili chief factors, posso essere certo che esista almeno un gruppo che generi ciascuna delle sequenze che ho elencato nell'ultimo punto (credo la risposta sia affermativa, ma eventualmente vorrei capire meglio il perché).