Recentemente mi sono messo a studiare la teoria dei cardinali e degli ordinali per curiosità, e ho capito molte cose di cui prima avevo sentito parlare ma di cui non coglievo pienamente il significato (non che ora possa dirmi un esperto!).
Solo che c'è una cosa che non sono riuscito a chiarirmi, che riguarda l'ipotesi del continuo, so che è indecidibile, ma non mi è chiaro cosa può succedere se assumiamo che sia falsa, in particolare $2^(\aleph_0)$ quali "valori" può assumere?
Cercando di documentarmi, ho scoperto (https://en.wikipedia.org/wiki/Cardinali ... _continuum) che $AA n\inNN$ la proposizione $2^(\aleph_0)=\aleph_n$ è indecidibile, dunque $2^(\aleph_0)$ può essere qualsiasi $\aleph_n$, solo che c'è scritto anche che non sono gli unici "valori" che può assumere, ce ne sono altri, ma sicuramente $2^(\aleph_0)!=\aleph_\omega$.
Ora io mi chiedo, ma com'è possibile che ce ne siano altri oltre a $\aleph_n$ se $\aleph_\omega$ non può esserlo?
Per caso il fatto che $2^(\aleph_0)$ non possa essere un certo numero cardinale NON implica che non possa essere un qualche numero cardinale maggiore?
Ringrazio in anticipo chiunque mi risponda.