annaritapapa ha scritto:Salve, mi servirebbe una mano negli esercizi di Algebra 2. Ve ne propongo alcuni, sperando che mi possiate dare una spiegazione esaustiva di come risolverli passaggio per passaggio. Vi prego di non dare nulla per scontato
1. Determinare esplicitamente gli elementi nilpotenti dei seguenti anelli: ZxZ; Z2xZ2; Z8;
Dato che in Z l'unico elemento nilpotente è 0 ho pensato che anche in ZxZ fosse lo stesso, quindi la coppia (0,0). Tuttavia nei restanti due anelli non so come comportarmi.
2. descrivere i divisori dello zero e gli elementi nilpotenti Z6xZ9;
3. determinare divisori dello zero e elementi invertibili di Z3xZ4;
4. determinare gli elementi nilpotenti di Z6,Z9,Z12;
5.sia A = $((a,b),(0,d))$ determinare gli invertibili e i divisori dello 0;
Penso basti applicare la definizione e poi fare i conti.
Sia $A$ un anello unitario, un elemento $x \in A$ si dice nilpotente se essite $n \in \mathbb{N}^+$ tale che $x^n = 0$
Per esempio prendiamo $A = \mathbb{Z_6}xx \mathbb{Z_9}$, $x = ([a]_6, [b]_9) \in A$ è nilpotente se esiste $n$ intero positivo tale che $x^n = ([a^n]_6, [b^n]_9) = ([0]_6, [0]_9)$, bene quindi la questione è trovare i nilpotenti di $\mathbb{Z_6}$ e di $\mathbb{Z_9}$.
I nilpotenti di $\mathbb{Z_n}$ come sono fatti? Beh per il teorema fondamentale dell'artimetica esistono $p_1, ..., p_k$ e $\alpha_1, ..., \alpha_k$ tali che $n = p_1^{\alpha_1} * ... * p_k^{\alpha_k}$, quindi un elemento $x \in \mathbb{Z_n}$ è nilpotente $\iff x = p_1^{\beta_1} * ... *p_k^{\beta_k}*d$ con $\beta_i <= \alpha_i$ e $d$ coprimo con $p_1, ..., p_k$. Per esempio in $\mathbb{Z_9}$ i nilpotenti sono $[3]_9$ e $[6]_9$
Per il punto $5$: non hai specificato dove sono i coefficienti della matrice, comunque dall'algebra lineare si sa che una matrice è invertibile se ha determinante non nullo. Hai qualche idea sui divisori di zero?
