Proprietà delle operazioni sugli ideali

[isottina7]

Buonasera,
per favore qualcuno potrebbe indicarmi un link dove trovare dimostrazioni sui tre punti sotto:
1)Il prodotto di ideali è contenuto nella loro intersezione
2)l'unione di due ideali è contenuta nella loro somma
3)l'unione di due ideali non è sempre un ideale.
Io non riesco a dimostrarlo.
Grazie

[Shocker]

Ciao,

secondo me ci riesci.
Partiamo dal primo punto: siano $I, J$ due ideali di un anello $A$, devi dimostrare che $IJ \sub I nn J$ cioè che $\forall x \in IJ \rightarrow x \in I nn J$, ma $x \in IJ$ come puoi scriverlo?

[isottina7]

Ciao,
potrei scrivere $x inIJ$ come $x in\sum x_i,y_j AA x_iinI, y_jinJ$ ?

[isottina7]

Scusami, la formula che volevo scrivere è: $ x inIJ $ come $ x in sum x_i*y_jAAx_iinI,y_jinJ $ .
Ma penso di aver sbagliato comunque, non penso di dover inserire la sommatoria.
x appartiene all'insieme i cui elementi sono dati dai singoli prodotti di tutti gli elementi del primo ideale per gli elementi del secondo. $ x inIJ $ come $ x in { (x_i*y_j) AAx_iinI,y_jinJ } $
Nell'intersezione, ci sono solo gli elementi comuni, però, siccome l'intersezione è pure un ideale, devo poterli moltiplicare per tutti gli altri restando nell'intersezione. Quindi ritrovo tutti gli elementi di I*J, giusto?
Inoltre l'intersezione è chiusa rispetto la somma, quindi ci saranno ulteriori elementi, giusto?
Grazie!

[Shocker]

Ciao,

Scusami, la formula che volevo scrivere è: $ x inIJ $ come $ x in sum x_i*y_jAAx_iinI,y_jinJ $ .
Ma penso di aver sbagliato comunque, non penso di dover inserire la sommatoria.

Invece è corretta, l'unica cosa sbagliata è l'uso del simbolo $in$: $x \in IJ => x = \sum_{i, j} x_i y_j$ tali che $x_i \in I$ e $y_j$ in $J$.

Nell'intersezione, ci sono solo gli elementi comuni, però, siccome l'intersezione è pure un ideale, devo poterli moltiplicare per tutti gli altri restando nell'intersezione. Quindi ritrovo tutti gli elementi di I*J, giusto?
Inoltre l'intersezione è chiusa rispetto la somma, quindi ci saranno ulteriori elementi, giusto?

Non mi sembra corretto, o almeno non scritto così.
Preso $x \in IJ$ sai che $x = \sum_{i, j} x_i y_j$ con $x_i \in I$ e $y_j$ in $J$, cosa puoi dire di $x_iy_j$ sapendo che $I$ e $J$ sono ideali?

[isottina7]

Ciao,
perchè I*J è una somma?
Non è invece un insieme i cui elementi sono tutti i vari prodotti degli elementi degli insiemi di partenza?
Mi manca proprio la base, dove posso appianare queste mie lacune?
Se cerco il prodotto tra insiemi su google esce fuori il prodotto cartesiano che qui non c'entra niente.
Grazie

[Shocker]

Ciao,
perchè I*J è una somma?

Ma cosa vuol dire che è una somma? Gli elementi di $IJ$ per definizione sono somme finite di prodotti di elementi di $I$ e di elementi di $J$, cioè: $IJ = { \sum_{i, j}^{m} x_i*y_j | x_i \in I, y_j \in J, m \in \mathbb{N}}$

Non è invece un insieme i cui elementi sono tutti i vari prodotti degli elementi degli insiemi di partenza?

NO, è l'ideale generato da tutti i possibili prodotti fra gli elementi di $I$ e $J$.

Mi manca proprio la base, dove posso appianare queste mie lacune?

Queste cose sono contenute in un qualsiasi libro di algebra di base, come "Algebra. Un approccio algoritmico" di G. M. Piacentini Cattaneo o "Algebra" di P. Di Martino, o in un qualsiasi libro base di algebra commutativa.

Se cerco il prodotto tra insiemi su google esce fuori il prodotto cartesiano che qui non c'entra niente.

Perché è un prodotto fra ideali, non fra insiemi.

[isottina7]

Va bene, grazie per ora e scusami del tempo che ti ho fatto perdere.
Spero davvero, con i testi, di mettermi sulla buona strada. Finora ho perso tempo pure io.
Ciao

[Shocker]

Va bene, grazie per ora e scusami del tempo che ti ho fatto perdere.

Non è stata una perdita di tempo, tranquilla

Spero davvero, con i testi, di mettermi sulla buona strada. Finora ho perso tempo pure io.
Ciao

In bocca al lupo, se hai dubbi c'è il forum.

Ciao!