Teoria dei Campi: estensioni di campi

[evaristegalois1]

Salve, avrei bisogno di una mano con un esercizio sui campi:

Sia $\xi$ $in$ $CC$ una radice primitiva n-esima dell'unità, con n>2
Determinare il grado di $QQ$($\xi$) su $QQ$($\xi$+$\xi^-1$).

Quindi dobbiamo trovare il grado dell'estensione $QQ$($\xi$+$\xi^-1$) $->$ $QQ$($\xi$)

Penso che si debba ragionare sulla somma tra la radice primitiva e il suo inverso, ma non riesco a ragionare in generale.
Spero qualcuno mi possa aiutare.

[dan95]

Poiché $[QQ(\xi):QQ(\xi+\xi^{-1})]=|Aut(QQ(\xi),QQ(\xi+\xi^{-1})|$, ovvero il grado dell'estensione è l'ordine del gruppo dei $QQ(\xi+\xi^{-1})$-automorfismi di $QQ(\xi)$, cioè dei $QQ$-omomorfismi che fissano $\xi+\xi^{-1}$ e $QQ(\xi)$ ma gli unici due $QQ$-omomorfismi che fanno ciò sono l'identità e $\varphi : \xi \mapsto \xi^{-1}$ dunque $|Aut(QQ(\xi),QQ(\xi+\xi^{-1})|=2$

[evaristegalois1]

Poiché $[QQ(\xi):QQ(\xi+\xi^{-1})]=|Aut(QQ(\xi),QQ(\xi+\xi^{-1})|$, ovvero il grado dell'estensione è l'ordine del gruppo dei $QQ(\xi+\xi^{-1})$-automorfismi di $QQ(\xi)$, cioè dei $QQ$-omomorfismi che fissano $\xi+\xi^{-1}$ e $QQ(\xi)$ ma gli unici due $QQ$-omomorfismi che fanno ciò sono l'identità e $\varphi : \xi \mapsto \xi^{-1}$ dunque $|Aut(QQ(\xi),QQ(\xi+\xi^{-1})|=2$

Innanzitutto grazie di aver risposto. Sono sicura che il tuo ragionamento sia corretto, il problema è che non abbiamo trattato questi argomenti e sono sicura che questa non sia la risposta che il mio professore richiedeva.. Per capirci non abbiamo mai parlato di automorfismi in Algebra 2. Perciò non riesco a capire quello che mi vuoi far capire!
Forse queste cose vengono trattate nella teoria di Galois, che è oggetto del programma di Algebra 3.
Quindi se tu avessi qualche altra idea per risolvere questo esercizio mi sarebbe utile, altrimenti ti ringrazio tantissimo per avermi dato queste informazioni!

[dan95]

$x^2-(\xi+\xi^{-1})x+1$ è il polinomio minimo in $QQ(\xi+\xi^{-1})$ che si annulla in $\xi$...

[evaristegalois1]

Come deduci che il polinomio minimo sia quello?

[dan95]

Ha decisamente ragione Martino...

[Martino]

alla fine dovrebbe venirti un espressione in $\xi$ con grado minore di $n$ che si annulla, assurdo...

Perché assurdo? $xi$ non ha grado $n$, ha grado \( \displaystyle \varphi(n) \) .

Penso sia più facile osservare che $[QQ(xi):QQ(xi+xi^{-1})]=1$ significa che $QQ(xi)=QQ(xi+xi^{-1})$ cioè $xi in QQ(xi+xi^{-1})$. Ma $xi+xi^{-1}$ è uguale al suo coniugato quindi è reale. Ed è facile vedere che $xi$ invece non è reale (se $n$ è almeno $3$).

[evaristegalois1]

alla fine dovrebbe venirti un espressione in $\xi$ con grado minore di $n$ che si annulla, assurdo...

Perché assurdo? $xi$ non ha grado $n$, ha grado \( \displaystyle \varphi(n) \) .

Penso sia più facile osservare che $[QQ(xi):QQ(xi+xi^{-1})]=1$ significa che $QQ(xi)=QQ(xi+xi^{-1})$ cioè $xi in QQ(xi+xi^{-1})$. Ma $xi+xi^{-1}$ è uguale al suo coniugato quindi è reale. Ed è facile vedere che $xi$ invece non è reale (se $n$ è almeno $3$).

Tutto chiaro! Quindi il grado dell'estensione dovrà essere maggiore di 1. L'unica cosa che non mi riesce è dimostrare l'irriducibilità del polinomio trovato affinché possa definirlo polinomio minimo.

[Martino]

Il grado dell'estensione è uguale al grado del polinomio minimo. Ed è maggiore di 1 quindi è maggiore o uguale a 2. D'altra parte il polinomio che hai trovato ha grado 2 quindi dev'essere proprio lui il polinomio minimo. In particolare è irriducibile (il polinomio minimo è sempre irriducibile).

[evaristegalois1]

Il grado dell'estensione è uguale al grado del polinomio minimo. Ed è maggiore di 1 quindi è maggiore o uguale a 2. D'altra parte il polinomio che hai trovato ha grado 2 quindi dev'essere proprio lui il polinomio minimo. In particolare è irriducibile (il polinomio minimo è sempre irriducibile).

Certamente, il mio problema era nel dimostrare la sua irriducibilità. Se parto dal presupposto che il grado è maggiore uguale a due il resto è ovvio, solo che non riuscivo, dato il polinomio a dimostrare che fosse irriducibile, tutto qua!
Grazie infinite dell'aiuto!