Fasci, non riesco a trovare un controesempio

[Stefano_92]

Ciao a tutti (:

Ecco l'esercizio a cui sto lavorando.

Consideriamo una varietà algebrica affine con la topologia di Zariski, munita del fascio delle funzioni regolari: chiamiamo $X$ la varietà e $ \mathcal{O}_X$ il fascio delle sue funzioni regolari.
Consideriamo un insieme algebrico chiuso $Y$, per semplicità supponiamo sia definito da un ideale primo. $Y$ è chiuso in $X$.
Possiamo però considerare $Y$ come una varietà algebrica affine munita del fascio delle funzioni regolari $ \mathcal{O}_Y$.
Denotiamo l'immerisone di $Y$, chiuso, in $X$ con $\pi : Y \to X$.
Ora, confrontiamo i fasci $\pi^(-1) \mathcal{O}_X$ e $ \mathcal{O}_Y$.

Io penso che non sia lo stesso fascio, ma non riesco a trovare un controesempio, qualcuno mi sa aiutare?
Grazie mille!!

[j18eos]

Domanda scema: \(\displaystyle\pi^{-1}\mathcal{O}_X\) cosa sarebbe?

[Stefano_92]

E' il fascio immagine inversa, cioè il fascio associato al prefeascio definito come il limite diretto al variare di $V$ fra gli intorni di $\pi(U)$ in $X$, dove $U$ è un aperto di $Y$, delle sezioni di $\mathcal{O}_X$ su $V$. Cioè il fascio associato al prefascio:
\[ \Gamma(U, \pi^{-1} \mathcal{O}_X) = \lim_{\rightarrow_{V \supseteq \pi(U)}} \mathcal{O}_X(V) \]

Spero si capisca. E' più chiaro? (:

[j18eos]

Come tu hai scritto, sia \(\displaystyle\mathcal{I}(X)\) l'ideale (primo) di \(\displaystyle\mathcal{O}_X(X)\) che determina l'insieme algebrico affine \(\displaystyle Y\) e sia \(\displaystyle\mathcal{O}_{X\displaystyle/\mathcal{I}}=\mathcal{O}_Y\) il suo fascio strutturale.

Per ogni sottoinsieme aperto \(\displaystyle U\) di \(\displaystyle X\) si ha che
\[
\mathcal{O}_Y(Y\cap U)=\mathcal{O}_X(U)_{\displaystyle/\mathcal{I}(U)}
\]
ove
\[
\mathcal{I}(U)=\left\{f\in\mathcal{O}_X(U)\mid\forall y\in Y\cap U,\,f_y=0\in\kappa(y)=\mathcal{O}_{X,y/\displaystyle\mathfrak{m}_y}\right\}=\{f\in\mathcal{O}_X(U)\mid\forall y\in Y\cap U,\,f_y\in\mathfrak{m}_y\}.
\]
Da questa costruzione è facile convincersi che per ogni \(\displaystyle y\in Y\) esiste un morfismo suriettivo da \(\displaystyle\mathcal{O}_{X,y}\) a \(\displaystyle\mathcal{O}_{Y,y}\).

Invece, è un facile esercizio dimostrare che per ogni \(\displaystyle y\in Y\) si ha che \(\displaystyle(\pi^{-1}\mathcal{O}_X)_y\cong\mathcal{O}_{X,y}\)!

Per esercizio, prova a svolgere i calcoli con \(\displaystyle X=\mathbb{A}^2_{\mathbb{R}}\) e \(\displaystyle Y=V(x)\equiv\{x=0\}\): dovresti avere l'esempio che cerchi, se non ho sbagliato i calcoli...

[Stefano_92]

Grazie mille. Ci provo e se ho dubbi ti scrivo (: grazie ancora!