Diofantea Pitagorica

[P_1_6]

Ciao,
gentilmente vorrei chiedervi come si risolve questo tipo di equazione

$x^2+9*y^2=223263364$

grazie

[spugna]

Per prima cosa scomponiamo il secondo membro in fattori primi:

$x^2+(3y)^2=2^2*31^2*241^2$

e osserviamo per prima cosa che l'unico modo per avere la congruenza modulo $4$ è che $x$ e $3y$ siano entrambi pari, cioè:

$x=2x_1, y=2y_1 \Rightarrow (x_1)^2+(3y_1)^2=31^2*241^2$.

Ora facciamo la stessa cosa modulo $31$: quest'ultimo è congruo a $-1$ modulo $4$, perciò l'unica possibilità è che $x_1$ e $3y_1$ siano entrambi multipli di $31$, e con una sostituzione analoga a quella di prima troviamo

$x_2^2+(3y_2)^2=241^2$

Ora ci vengono in aiuto i complessi: dato che $241$ è un primo congruo a $1$ modulo $4$, lo si può esprimere in modo unico come somma di due quadrati, che scopriamo essere $15^2$ e $4^2$, da cui

$241^2=(15-4i)^2(15+4i)^2=(209-120i)(209+120i)=209^2+120^2=209^2+(3*40)^2$

Abbiamo trovato quindi la soluzione $x_2=+-209, y_2=+-40 \Rightarrow x=+-12958, y=+-2480$, e si può dimostrare anche che è l'unica soluzione non banale (ci sarebbe anche $y=0$).

[P_1_6]

Grazie spugna per la risposta
ma io cercavo una soluzione senza la fattorizzazione
in quanto è proprio quella che voglio del numero $7471$
se ci fai caso infatti sia $12958$ che $2480$ sono divisibili per $31$

[P_1_6]

Mi spiego meglio
Ho scoperto che per fattorizzare un numero $N=p*q$ tutti e tre nella forma $6*H+1$
basta risolvere $x^2+9*y^2=4*N^2$
e fare euclide di $y$ ed $N$
ciò non è sempre vero però si può ricondurre ad un caso vero
esempio
$7471=31*241$
$x^2+9*y^2=223263364$
ove $y=2480$
Quindi Euclide $(7471,2480)=31$

poi ho vagato per il web ed ho letto dell'Equazione di Pell
quindi ho trasformato la mia equazione in una generalizzazione dell'Equazione di Pell $x^2-d*y^2=M$
però andremo ad agire sul secondo fattore ovvero
$x^2-9*y^2=223263364$
$y=77120$
quindi $MCD(77120,7471)=241$
il problema e che non ci capisco molto per ora di quest'Equazione di Pell
se potreste aiutarmi ve ne sarei grato

[P_1_6]

Se può esserci di aiuto
ho scoperto che in $x^2+9*y^2=4*N^2$
$x^2=A*B -> A+B=4*N$
cioè nell'esempio
$x^2+9*y^2=223263364$
$x^2=A*B ->A+B=29884$

[P_1_6]

quindi ho trasformato la mia equazione in una generalizzazione dell'Equazione di Pell $x^2-d*y^2=M$

$x^2-9*y^2=223263364$

In effetti questa non è l'equazione di Pell generalizzata in quanto 9 è un quadrato quindi ho rielaborato tutte le informazioni che avevo e ne è uscita fuori
$z^2-6*(p)^2=(4*N)^2$
che se non sbaglio dovrebbe essere un Equazione di Pell generalizzata
cioè nel nostro esempio
$z^2-6*(p)^2=893053456$
dove per esempio per $p=2232$
$MCD(7471,2232)=31$

[P_1_6]

Equivalentemente
anche ad $N=p*q$ con $N$ nella forma $6*H+1$ e $p$ e $q$ nella forma $6*h+5$
si può associare l'equazione di Pell generalizzata
$z^2-6*(p)^2=(4*N)^2$

esempio $19*41=779$
$z^2-6*(p)^2=9709456$
per $p=18368$ si ha
$MCD(18368,779)=41$

si dovrebbe risolvere l'equazione di Pell unitaria trovando la frazione continua di radice di sei e le soluzioni saranno date dal convergente alla frazione continua
Per favore qualcuno mi fa vedere come si calcolano le soluzioni

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EDIT:

anche ad $N=p*q$ con $N$ e $p$ nella forma $6*H+5$ e $q$ nella forma $6*h+1$
e ad $N=p*q$ con $N$ e $q$ nella forma $6*H+5$ e $p$ nella forma $6*h+1$
si può associare l'equazione di Pell generalizzata
$z^2-6*(p)^2=(4*N)^2$

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EDIT:
Non pensate che non sia deterministico

Non so quale sia la sua complessità computazionale a me sembra $O(2)$ però non ne ho la certezza in quanto non essendo un matematico e non sapendo risolvere l'equazione di Pell generalizzata (che nessuno mi spiega) non posso continuare

vi faccio un esempio

$1147=31*37$

$x^2-6*y^2=(4*N)^2$

$x^2-6*y^2=(4*1147)^2$

ha soluzioni divisibili per $1147$

ma dall'equazione generatrice mi calcolo una nuova equazione di Pell generalizzata ovvero

$x^2-3*y^2=4*N^2$

$x^2-3*y^2=5262436$

per $y=1736$

$MCD(1736,1147)=31$

Ma secondo voi me la danno la medaglia Fields?

[P_1_6]

Quindi volendo risolvere
$x^2-6*y^2=893053456$
ho capito come si trova
$sqrt(6)$ in frazione continua: $[2, \bar(2, 4)]$
e come si trovano i convergenti per trovare la soluzione unitaria

1. $2/1$
2. $5/2 => 5^2-6*2^2 = 1$
3. $22/9$
4. $49/20 => 49^2-6*20^2 = 1$
5. $218/89$
6. $485/198 => 485^2 - 6*198^2 = 1$

Quindi $(5,2)$ ; $(49,20)$ ; $(485,198)$ ecc.ecc. sono tutte soluzioni unitarie

però non ho capito
come faccio ad arrivare alla soluzione
$x=30380$
$y=2232$