I p-sottogruppi di Sylow sono sempre ciclici?

[nereide]

Abbiamo definito i p sottogruppi di un gruppo G, con p primo, come gruppi in cui tutti gli elementi hanno per periodo una potenza di p e i p-sottogruppi di Sylow come gli elementi massimali nell'insieme dei p sottogruppi. Ora, è vero che i p-sottogruppi di Sylow sono sempre gruppi ciclici? Per dimostrarlo dovrei riuscire a trovare un generatore di tutto il gruppo ma non riesco

[Martino]

No è falso, per esempio se prendi il prodotto diretto $C_2 xx C_2$ (dove $C_2$ è un gruppo ciclico con $2$ elementi), lui è uguale al suo $2$-sottogruppo di Sylow e non è ciclico.

E' una domanda che ti è venuta in mente o fa parte di un esercizio?

[nereide]

Mi è venuta in mente, ti ringrazio della risposta! Solo una cosa: perché il prodotto diretto del tuo esempio non è ciclico?

[Shocker]

Mi è venuta in mente, ti ringrazio della risposta! Solo una cosa: perché il prodotto diretto del tuo esempio non è ciclico?

Beh, riesci a trovare un elemento di ordine quattro in quel gruppo?

[nereide]

Giusto, grazie