Esecizio relazioni tra insiemi

[NightWnvol]

Salve, vi chiedo aiuto per risolvere questo esercizio:

Sia \(\displaystyle U=\{0, 1, 2, 3\} \) e sia \(\displaystyle F \) una qualsiasi funzione \(\displaystyle F : U \rightarrow U \).
Se \(\displaystyle F^2 = F^{-1} \rightarrow F = I_U \).
\(\displaystyle I_U = \{(0;0), (1;1), (2;2), (3;3)\} \).
Dire se tale affermazione è vera e, a seconda della risposta, fornire la dimostrazione o un controesempio.

Sono riuscito a risolvere una versione diversa dell'esercizio (che riporto qui giù) ma per questo non riesco proprio a trovare soluzione.
Se \(\displaystyle F = F^{-1} \rightarrow F = I_U \).
In questo caso la risposta è NO e per provarlo fornisco un controesempio.
Dato che l'insieme \(\displaystyle U \) è formato da 4 elementi definisco la funzione \(\displaystyle F \) in questo modo:
a \(\displaystyle 0 \) associo \(\displaystyle 1 \), quindi \(\displaystyle F(0) = 1 \);
dato che \(\displaystyle F = F^{-1} \), ad \(\displaystyle 1 \) sarà associato \(\displaystyle 0 \), quindi \(\displaystyle F(1) = 0 \);
per \(\displaystyle 2 \) e \(\displaystyle 3 \) procedo come su.
Ottengo così \(\displaystyle F = \{(0;1), (1;0), (2;3), (3;2)\} \) che è diversa da \(\displaystyle I_U \).

Idee su come dimostrare o dare un controesempio per la versione sopra?

[Antimius]

Prendi una permutazione non banale di ordine $3$ come controesempio. Ad esempio, $(1,2,3)(4)$. Ho usato la scrittura in cicli; se non ti è chiara, dimmelo.

[NightWnvol]

Grazie, credo proprio che sia la soluzione giusta.
Quindi come controesempio otterrei \(\displaystyle F = \{(0;1), (1;2), (2;0), (3;3)\} \).
Non mi è chiara una cosa però... Come faccio a verificare che sto rispettando \(\displaystyle F^2 = F^{-1} \)?

[Antimius]

$F^2 = F^{-1}$ significa $F \circ F^2 = F^2 \circ F = id$, cioè $F^3 = id$

[NightWnvol]

Scusami per l'insistenza ma non riesco ancora a capire Potresti spiegarti meglio?

[Antimius]

Verificare che $F^2$ sia uguale a $F^{-1}$ significa verificare quello che ho scritto su, per definizione di elemento inverso. Ma siccome $F^2 \circ F=F^3$ ti basta verificare che $F^3=id$. E questo è vero perché la permutazione ha ordine $3$.

[NightWnvol]

Grazie mille ti sei spiegato benissimo, ora ho capito .

[Antimius]

Prego