Divisibilita'

[karl]

<b>Dimostrare che tra 5 numeri (interi)
consecutivi esiste uno (ed un solo) numero
divisibile per 5.</b>
karl.

[Valerio Capraro]

ci prendi in giro Karl?!

un numero è divisibile per 5 se e solo se la sua ultima cifra è 0 o 5;
supponiamo che il primo dei 5 interi finisca con 0, allora gli altri quattro finiscono con 1,2,3,4 quindi vi è un solo multiplo di 5; analogamente si mostrano gli altri 9 casi.

ciao, ubermensch

[karl]

Francamente non avevo pensato a un tale
tipo di ragionamento.Mi congratulo con te,
Ubermensch.Comunque ecco la mia soluzione:
Siano x-2,x-1,x,x+1,x+2 i 5 numeri;il loro
prodotto e':P= x(x^4-5x^2+4)=x(x^4-1)-5x(x^2-1).
Ora,per il teorema di Fermat risulta che
x^4-1 e' divisibile per 5 e quindi lo e'
x(x^4-1) e di conseguenza anche P.
Poiche 5 e' primo,uno(ed uno solo) dei fattori di P
deve essere divisibile per 5.
karl.

[Valerio Capraro]

hai mosso mari e monti... comunque le tue soluzioni sono sempre molto belle! io ho pensato anche ad un'altra:

sia a un qualunque numero intero, facendo la divisione euclidea, allora a = 5q + r, r<5, quindi a-r è divisibile per 5 se a-r non fa parte dei 5 interi scelti, allora facciamo a =5(q+1) - r' e allora a+r' è divisibile per 5. occorre solo mostrare che solo uno tra a-r e a+r' è compreso tra 5 numeri interi consecutivi contenenti a; si vede subito che r=5-r'; quindi a-r=a+r'-5, quindi quindi tra a-r e a+r', estremi inclusi, ci sono sei numeri, quindi un estremo si esclude automaticamente, e resta un solo multiplo di 5.

ciao, ubermensch